Межвременной потребительский выбор в непрерывном времени.

Рассмотрим вначале вопрос о начислении сложных процентов и дисконтировании денежных потоков в непрерывном времени. В процессе дисконтирования используется экспоненциальная функция, причем показателем экспоненты является произведение времени на непрерывную ставку, или интенсивность, процента (e^rt). Эта функция возникает из механизма начисления сложных процентов. При ежегодной выплате первоначальный вклад возрастает через t лет в (1+ r) ^t раз. Если проценты начисляются n раз в год, то рост первоначального вклада за t лет составит раз. При непрерывной выплате процентов, когда число n выплат устремляется к бесконечности, в пределе возникает экспонента

, (6.7)

где r – процентный доход за единицу времени.

К получению множителя e^rt можно подойти и по-другому. При непрерывном начислении процентов приращение денежной суммы на банковском счете за бесконечно малую единицу времени составляет, как и в дискретном случае, произведение предшествующего количества денег на ставку процента:

, или ,

где r – процентный доход за единицу времени .

Устремляя шаг времени к нулю, в пределе

получаем дифференциальное уравнение

. (6.8)

Его решением будет , где C ₀ – некоторая константа. Пусть в первоначальный момент времени на счет было положено количество денег в размере M ₀ (M (0)= M ₀). Тогда C ₀= M ₀, и зависимость денежной суммы от времени имеет следующий вид [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.597-598][34]:

. (6.9)

Если непрерывный темп прироста величины M равен r (6.9), то ее дискретный темп роста равен e^r . (6.11)

При малых r этот темп роста близок (1+ r) [ Ошибка! Источник ссылки не найден., с.198].

Отметим, что при решение уравнения (6.8) будет иметь вид[35]

. (6.9)

Процедура дисконтирования обратна механизму начисления сложных процентов (6.9) . (6.12)

Допустим, что инвестиционный проект приносит непрерывный во времени поток чистых доходов R (t) начиная с некоторого момента t = T вплоть до периода t = K. Тогда капитализированная стоимость проекта, то есть его дисконтированный кумулятивный поток чистых доходов в момент времени T составит

, (6.13)

где r – непрерывно начисляемая ставка процента [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.161-188].

В частности, в нулевой момент времени (T =0)

. (6.14)

Допустим далее, что непрерывная ставка процента меняется во времени (r (t)≠const). Тогда средняя ее величина за период, равный t, составит

, (6.15)

где τ – переменная интегрирования.

С учетом данной средней ставки процента первоначальная сумма денег M (0) в момент времени t составит

. (6.16)

Обратная, по отношению к начислению непрерывных сложных процентов (6.16), процедура дисконтирования даст

. (6.17)

С учетом переменной во времени ставки процента процедура капитализации потока доходов R (t) во временнóм интервале T ≤ t ≤ K на момент начала проекта t = T усложняется [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.161-188]:

. (6.18)

При постоянной во времени ставке процента (r (t)= r =const) приходим к полученной выше формуле (6.13):

.

Дата добавления: 2015-10-24