Приклад розв’язування задачі Д3

До двох вертикальних послідовно з’єднаних пружин жорсткостями с₁ і с₂ і паралельного до них демпфера Д підвішено вантаж масою m₁, що показано на рис. Д3.31. В початковий момент часу до вантажу масою m₁, який знаходиться в стані статичної рівноваги, миттєво приєднують вантаж масою m₂ так, що обидва вантажі як одне ціле набувають вертикальну швидкість V_o направлену вниз. Під час руху вантажів демпфер Д створює силу опору пропорційну швидкості:

R = mV.

Визначити залежність координати вантажів від часу x = x(t), по-будувати графік цієї залежності. В остаточних розрахунках прийняти m₁ = 20 кг, m₂ = 12 кг, с₁ = 10 Н/см, с₂ = 40 Н/см, m = 192 Н с/м,

V_o = 2 м/с.

Розв’язання
Знайдемо жорсткість с пружини, яка буде еквівалентною пружинам з

жорсткістю с₁ і с₂. При послідовному з’єднанні величина с рівна

. (3.12)

Покажемо на рис.Д3.32 поряд з рисунком Д3.31 розрахункову схему сил що діють на систему вантажів m₁ і m₂ в довільний момент руху.

Рис.Д3.31 Рис.Д3.32

Сили, що зображені на рис. Д3.32 означають: Р = mg – сумарна вага двох вантажів, m = m₁ + m₂, R = mV – сила опору демпфера,

F = c (x + l_ст) – сила реакції пружини.
Складаємо диференціальне рівняння руху точки сумарної маси m в

проекції на вісь Ох.

. (3.13)

Тоді диференціальне рівняння (3.1) зводиться до вигляду

. (3.14)

В положенні статичної рівноваги виконується mg = cl_ст (3.15)
Після спрощення із (3.14) отримуємо

. (3.17)

де , а с визначається формулою (3.12).

Знайдемо числові значення коефіцієнтів при і х.

, .

З числовими коефіцієнтами диференціальне рівняння (3.17) запи-шеться
. (3.18)

Порівнюючи (3.18) і (3.3) встановлюємо що n = 3, k = 5, тобто k > n.
За зразком (3.7) запишемо розв’язок для (3.18) попередньо встановивши, що
,

. (3.20)
Знайдемо похідну від (3.20) і використаємо для знаходження сталих ін-тегрування С₁ і С₂ початкові умови:

при t = 0.

.

Відносно С₁ і С₂ одержуємо систему рівнянь

-0,147 = 0 + C₂
2 = -3 C₂ +4 C₁,

звідки С₁ = 0,389 м = 38,9 см, С₂ = -0,147 м = -14,7 см.

Підставляючи С₁ і С₂ в (3.20) одержуємо шукане рівняння руху

. (3.21)

Рис. Д3.33

На рис. Д3.33 наведено графік залежності (3.21), побудований за допо-могою програми EXEL.

Функція (3.21) та її графік на рис. Д3.33 свідчать про те, що ванта-жі здійснюють затухаючі коливання.

Дата добавления: 2015-09-04