Тема №5 Работа с матрицами в Mathcad. Решение систем линейныхалгебраических уравнений.

Для создания массива в Mathcad достаточно выполнить следующие действия:

- Установить курсор в то место, где надо создать матрицу;

- Щёлкнуть на кнопке математической панели Vector and Matrix Toolbar, а в появившейся панели инструментов щёлкнуть на кнопке Matrix or Vector. Также можно нажать комбинацию клавиш <Ctrl+m>;

- В появившемся диалоговом окне вписать число строк (Rows) и число столбцов (Columns), затем щёлкнуть ОК. На месте курсора появится шаблон матрицы;

- В каждое место ввода вписать число. Переход от одного места ввода в другое осуществляется с помощью клавиш со стрелками.

Для нумерации элементов массива используется нижний индекс. Для этого на математической панели существует кнопка (Subscript). Также можно пользоваться клавишей <[> (открывающаяся квадратная скобка).

Чтобы из матрицы выделить вектор (один из столбцов) пользуются верхним индексом. Для этого нужно:

o Ввести имя матрицы и выделить его синим уголком курсора;

o В математическом меню щёлкнуть на кнопке Matrix and Vectors Toolbar и на кнопке Vatrix Column;

o В появившемся месте ввода набрать номер столбца.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

В Mathcad легко реализуется вычисление обратной матрицы.

Для нахождения матрицы, обратной к заданной можно выбрать на панели Matrix значок .

Поэтому первый метод решения СЛАУ — это метод обратной матрицы.

Второй способ решения СЛАУ — это использование процедуры lsolve.

Которая реализуется следующим образом:

,
где — матрица коэффициентов, — вектор-столбец свободного члена.

Рассмотрим пример решения физической задачи с применением теории матриц.

Пример 1. С помощью первого и второго законов Кирхгофа для цепи со схемой, изображенной на рис.1, найти все токи ветвей.

Рис.1

Параметры цепи: Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, В, В, В, А, А, А.

Решение

В данной задаче неизвестными являются токи, протекающие в ветвях, содержащих сопротивления. К таким ветвям относятся: ветвь с сопротивлением (по ней протекает ток ), ветвь с сопротивлением (по ней протекает ток ), ветвь с сопротивлением (по ней протекает ток ), ветвь с сопротивлением (по ней протекает ток ), ветвь с сопротивлением (по ней протекает ток ), ветвь с сопротивлением (по ней протекает ток ). В ветвях, содержащих источники тока , и токи заданы и равны соответственно , и .

Таким образом, число неизвестных токов равно шести.

Поэтому для решения задачи необходимо получить шесть уравнений: три уравнения по второму закону Кирхгофа и три уравнения по первому закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Число узлов в схеме равно восьми.

Условно будем полагать положительно направленными токами те, которые вытекают из узла, а отрицательно направленными — те, которые втекают в узел.

Второй закон Кирхгофа: сумма падений напряжений на сопротивлениях в контуре равна сумме ЭДС, входящих в данный контур.

Направления токов в ветвях указаны на рис.1 (в общем случае эти направления можно задавать произвольно).

Направление обхода контуров зададим единым образом для всех контуров: а именно, по часовой стрелке.

Тогда получим следующую систему уравнений (первые четыре уравнения записаны по второму закону Кирхгофа, последние три уравнения записаны по первому закону Кирхгофа).

Систему уравнений можно записать в матричном виде:

где — матрица коэффициентов, — вектор-столбец свободного члена, — вектор-столбец неизвестных токов.

.
.
.

Чтобы получить искомое решение задачи достаточно задать в Mathcad матрицу и вектор-столбец свободного члена. Далее решить систему уравнений одним из указанных выше способов.

Для проверки полученных результатов необходимо произвести расчёт мощностей, выделяемых на резисторах и генерируемых источниками. Подтверждением правильности расчётов будет выполнение баланса мощностей, то есть:

,
где

— мощность, выделяемая на резисторах ( — число ветвей, содержащих резисторы);

— мощность, генерируемая источниками ( — число ветвей, содержащих источники ЭДС; — число ветвей, содержащих источники тока; — напряжение между точкой, в которую втекает ток источника тока и точкой, из которой вытекает ток источника тока).

Решение поставленной задачи в Mathcad выглядит следующим образом.

Дата добавления: 2015-08-27