Глава 4.3 Векторная алгебра

Ь\ «12 «11 *1

_ ^Ь2 «22. _ «21 Ь₂

Д.1. j\, * —.

А А

Глава 4.2. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений... 445 3. Если Л = 0, а хотя бы один из определителей

b, a,₂ a_n Ь_{

Д =;А = отличен от 0, то система

Ь₂ а_2г а₁₂ Ь₂

решений не имеет.

4 Если А = О, А = А = 0, то система имеет бесконечно

Ж, Х₂

много решений, причем уравнение системы задает соотношение между переменными X, и Х₂:

_Ь₁-а₁₂х₂

л₁ -

а„

Неоднородные СЛАУ 3-го порядка. fa_n*i+«i2*2+«i3*3 = Ь_{ <. a_2lx_l + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = Ь₂

[a₃i*i⁺«32*2+^азз*з=*з План решения таких систем состоит в следующем:

1. Вычислить определитель системы.

«11 «12 «13

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃.

«31 «32 «33

2. Если А Ф О, то единственное решение (дг,,ДС₂) находится по формулам:

6, а_и а,₃ а_п 6, а,₃ а„ а,₂ 6,

Ь₂ а_п а₂₃ «₂₁ Ь₂ а₂₃ а_п а₂₂ Ь₂

- ⁶3 «32 «33 «31 ^Ь3 «33 «31 «32 ^Ь3

^Xl= ~T~ '*²⁼ A A

Остальные пункты аналогичны приведенному выше плану решения неоднородных СЛАУ 2-го порядка.

3. Если А = 0, а хотя бы один из определителей

А; А: А отличен от 0, то система решений не имеет.

Х2 Х3

4 Если Д = О, А = А = 0, то система имеет бесконечно

JT, Х₂

много решений.

Однородные системы

Изучение методики решения однородных СЛАУ будет проведено на системе 3-го порядка:

[«11*1 +«,2*2 +«13*3 =°

|fl₂i*i+«22*2+^Д2з*з = 0 [а₃₁х,+а₃₂х₂+а_зЛ=0.

План решения приведен ниже.

1. Вычисляем определитель системы:

«11 «12 «13

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃

«31 «32 «33 '

2. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда А = 0.

3. Если А^О, то существует единственное - нулевое решение системы х_} = 0; х₂ = 0; л:₃ = 0.

4. Если А = 0, получаем решения системы, последовательно исключая переменные из уравнений системы (действуя от нижнего к верхнему уравнению).

Решение СЛАУ матричным способом

Пусть имеется система уравнений:

[«11*1+012*2 =bi\ |«21*1+«22*2 =Ь₂.

Введем для этой системы следующие обозначения:

_Аф "-'W'-WM

(а₂₁ а₂₂) {х₂) \Ъ₂)

Таким образом, получаем матричное уравнение АХ = В. Пусть А Ф 0, тогда решение этой системы имеет вид

Х = А'¹В.

Аналогичным образом находится решение для следующих матричных уравнений:

Глава 4.2. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений... 447

ХА = В'=> Х = ВА-¹.

СХА = В => X = C~^lBA~^l

(здесь матрицы А, В,С- произвольные невырожденные квадратные матрицы).

Глава 4.3 Векторная алгебра

Основные понятия

Скаляром называется величина, которая характеризуется только числом (а). С другой стороны, вектор - это величина, характеристиками которой являются число и направление в пространстве (а). Вектор также называют направленным отрезком.

Модулем вектора называется его длина. Два вектора равны, если они имеют равные модули и одинаковое направление.

Орт вектора а- вектор, модуль которого равен 1 и направление совпадает с а. Орт еще называют вектором единичной длины (обозначается а).

Если вектор Ъ имеет одинаковую длину с а, но направлен в противоположную сторону, то он называется противоположным

по отношению к а: b — —а.

Действия над векторами

1. Сложение

Сумму векторов а и Ь можно получить, если к концу а "приложить" начало b, после чего соединить начало а и конец Ь. В результате получится суммарный вектор с = а + b.

Описанный метод называется методом "треугольника". Существует также другой способ определения суммы векторов -методом "параллелограмма". Использование этих методов показано на рис. 4.7.

•*><Ъ/7 -+Г s$Q/^/

Jp^/ъ g^V

а '' а» "''

Рис. 4.7. Нахождение суммы векторов

Свойства сложения.

1) переместителъное:

a + b =b+a.

2) сочетательное:

(а + Е) + с = а + (Ь+с).

2. Вычитание

Эта операция противоположна действию сложения (см. рис. 4.8):

а - Ъ = с, если с + b = а.

Для нахождения разности векторов C—ja—b необходимо

оба вектора привести к общему началу, после чего конец b (т.е. вычитаемого) соединить с концом а (т.е. уменьшаемого).

£/\с=-а-~£ а*

Рис. 4.8. Определение разности векторов

3. Умножение вектора на скаляр

Вектор с называется произведением вектора а на скаляр Л, если он удовлетворяет следующим условиям:

а) с = а • Л.

б) направление с совпадает с а, если Л > 0, и противоположно направлению а, если Л < 0.

Соответственно, длина результирующего вектора с зависит от Л:

Глава 4.3. Векторная алгебра __________________________________ 449

А < 1 - длина вектора а уменьшилась; А, > 1 - длина вектора а увеличилась.

Вектор и его проекции

Проекция вектора на ось

ZT^*

^ч

In rl.

А В k

Рис.4.9. Проекция вектора а на ось k

Проекцией вектора а на некоторую ось k (обозначается a_k)

называется длина отрезка АВ, взятая со знаком "+" или "-", в зависимости от величины угла между направлением вектора и оси:

а < 90° => a_t = АВ (см. рис. 4.9); а > 90° => a_k = -АВ.

3 Следует отметить, что d_k = a -COS Of, причем COS a

(косинус угла между направлением вектора и осью) носит название направляющего косинуса.

Свойства проекций

1. Проекция суммы векторов равна сумме проекций.

2. Проекция произведения вектора на скаляр равна произведению проекции на этот скаляр.

Разложение вектора по ортам координатных осей В качестве примера рассмотрим прямоугольную систему координат Оху на плоскости (см. рис. 4.10). Здесь

i, j - орты координатных осей Ох и Оу, соответственно; х,у- проекции вектора с на координатные оси;

а = х• i;b = у• j => с = х• i + у- j •

Дата добавления: 2015-08-27