Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Применение метода ветвей и границ к решению задач линейного целочисленного программирования

Читайте также:
  1. I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ
  2. II. Цели и задачи Конкурса
  3. II. Цели и задачи преддипломной практики.
  4. III. Задачи Коммунистического Интернационала в борьбе за мир, против империалистической войны
  5. III. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
  6. III. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПЕРВИЧНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОФСОЮЗА
  7. А) Нижняя граница премии американского и европейского опционов колл

 

Рассмотрим задачу ЦЛП в матричной форме записи. Обозначим ОДП этой задачи D, а ОДП ЗЛП без ограничений целочисленности - G. Точно так же обозначим соответствующие системы ограничений, а сами задачи будем называть D-задача и G-задача.

max CX

D представляет собой часть G. G будем рассматривать в качестве исходного множества (рис.19).

 

Решим вначале G-задачу. Пусть при решении этой задачи получен оптимальный план ХG. Значение целевой функции на нем zG - оптимум G-задачи - будем использовать в качестве границы . В самом деле,

zG СХ Х G;

zG СХ Х D.

Если план ХG целочисленный, то решение задачи окончено. Таким образом, мы ответили на первый и третий вопросы, конкретизирующие метод ветвей и границ.

Предположим, что хотя бы одна компонента ХG не целочисленна: хGi Z.

Целой частью числа называют наибольшее целое число, меньшее или равное данному.

Обозначим целую часть числа хGiGi].

Конкретизируем второй вопрос.

Разобьем D на D1 и D2 следующим образом:

D1={X D: хi Gi]};

D2={X D: хi Gi] + 1}

(т.е. к одному множеству отнесли все допустимые планы, у которых i-я компонента не больше целой части хGi, а к другому - у которых не меньше следующего целого числа).

Разбивая D, мы одновременно разбиваем и G (рис.20).

Это разбиение обладает следующими свойствами:

G1 G2 G (объединение этих множеств содержится в G, но не равно ему);

D1 D2 = D (в устраненном «коридоре» нет ни одной точки с целочисленными координатами).

 

 

При этом устраняется и план ХG.

Далее решение задачи продолжается для каждого из подмножеств G1 и G2.

Сходимость алгоритма основана на том, что в ограниченной ОДП множество дискретных точек конечно.

Следует отметить, что метод ветвей и границ легко обобщается и на частично целочисленные задачи (в качестве переменной, по которой разбивается множество, выбирают одну из тех, на которые наложены ограничения целочисленности).

 

3.5. Пример решения задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ

 

Требуется решить следующую задачу:

max 2х1 + х2

1 + 2х2 10

1 + 8х2 13

х1,2 0

х1,2 Z

Вначале решим эту задачу графически без ограничений целочисленности. Решение может быть найдено как симплекс-методом, так и графически. Найдем его графически (рис.21).

 

 

 

Координаты точки оптимума можно найти, решив систему уравнений:

1 + 2х2 = 10 х1=27/17

1 + 8х2 = 13 х2=35/34

ХG = (27/17;35/34), zG=143/34.

Начнем строить дерево, первая вершина которого будет соответствовать всей ОДП нецелочисленной задачи (G), а ее оценка будет равна zG (рис.22).

 

 


Полученный план не является целочисленным, поэтому возьмем его произвольную нецелочисленную компоненту, например, первую (х1 Z; [х1] = [27/17] = 1) и разобьем ОДП на две части следующим образом:

G1 = {X G: х1 1};

G2 = {X G: х1 2}.

Изобразим это графически (рис.23).

 

 

 

 

 


Из рис.6 видно, что G2 представляет собой одну точку ХG2=(2;0), следовательно, на этом множестве оптимум задачи равен 4 ( 2=4).

План ХG2 является целочисленным, следовательно, решение целочисленной задачи уже, возможно, найдено. Однако, следует еще найти оценку множества G1. Она может оказаться не менее 4 (но обязательно не более 143/34). Если это так, то нужно проверить, не является ли целочисленным решение задачи на G1. Если оно целое, то является решением задачи, а если нет, то процесс решения необходимо продолжить, разбивая G1.

На G1 точку оптимума можно найти, решив систему уравнений:

х1 = 1 х1=1

1 + 8х2 = 13 х2=5/4

ХG1 = (1; 5/4), zG1=13/4.

Оценка меньше 4, следовательно, решением задачи является Х*G2=(2;0),z*=4.

 

Для задачи с булевыми переменными алгоритм метода ветвей и границ будет тот же, но разбиение проводится по первой по счету переменной, значение которой не равно 0 или 1. На одном подмножестве эта переменная приравнивается 1 (эта ветвь рассматривается вначале), а на другом - нулю.

Следует отметить, что для таких задач разработан более эффективный алгоритм решения (так называемый аддитивный), также основанный на методе ветвей и границ. В нем обычно требуется меньшее число итераций, а кроме того, и расчеты на каждой итерации являются менее трудоемкими, не требуют применения симплекс-метода.

 

Вопросы и упражнения

 

1. Как ставится задача целочисленного линейного программирования?

2. Какие существуют подходы к решению такой задачи?

3. В чем заключается идея метода ветвей и границ?

4. Как применяется этот метод к задаче целочисленного линейного программирования?

5. Как применяется этот метод (в ППП QSB) к задачам с булевыми переменными?

6. Решить методом ветвей и границ (и проиллюстрировать решение построением дерева) задачу

max 3х1 + 2х2

1 + 5х2 35

1 + 4х2 36

х1,2 0

х1,2 Z

 

 


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод ветвей и границ. Общая схема| Целочисленного линейного программирования

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.014 сек.)