Читайте также:
|
|
Рассмотрим задачу ЦЛП в матричной форме записи. Обозначим ОДП этой задачи D, а ОДП ЗЛП без ограничений целочисленности - G. Точно так же обозначим соответствующие системы ограничений, а сами задачи будем называть D-задача и G-задача.
max CX
D представляет собой часть G. G будем рассматривать в качестве исходного множества (рис.19).
Решим вначале G-задачу. Пусть при решении этой задачи получен оптимальный план ХG. Значение целевой функции на нем zG - оптимум G-задачи - будем использовать в качестве границы . В самом деле,
zG СХ Х G;
zG СХ Х D.
Если план ХG целочисленный, то решение задачи окончено. Таким образом, мы ответили на первый и третий вопросы, конкретизирующие метод ветвей и границ.
Предположим, что хотя бы одна компонента ХG не целочисленна: хGi Z.
Целой частью числа называют наибольшее целое число, меньшее или равное данному.
Обозначим целую часть числа хGi [хGi].
Конкретизируем второй вопрос.
Разобьем D на D1 и D2 следующим образом:
D1={X D: хi [хGi]};
D2={X D: хi [хGi] + 1}
(т.е. к одному множеству отнесли все допустимые планы, у которых i-я компонента не больше целой части хGi, а к другому - у которых не меньше следующего целого числа).
Разбивая D, мы одновременно разбиваем и G (рис.20).
Это разбиение обладает следующими свойствами:
G1 G2 G (объединение этих множеств содержится в G, но не равно ему);
D1 D2 = D (в устраненном «коридоре» нет ни одной точки с целочисленными координатами).
При этом устраняется и план ХG.
Далее решение задачи продолжается для каждого из подмножеств G1 и G2.
Сходимость алгоритма основана на том, что в ограниченной ОДП множество дискретных точек конечно.
Следует отметить, что метод ветвей и границ легко обобщается и на частично целочисленные задачи (в качестве переменной, по которой разбивается множество, выбирают одну из тех, на которые наложены ограничения целочисленности).
3.5. Пример решения задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ
Требуется решить следующую задачу:
max 2х1 + х2
5х1 + 2х2 10
3х1 + 8х2 13
х1,2 0
х1,2 Z
Вначале решим эту задачу графически без ограничений целочисленности. Решение может быть найдено как симплекс-методом, так и графически. Найдем его графически (рис.21).
Координаты точки оптимума можно найти, решив систему уравнений:
5х1 + 2х2 = 10 х1=27/17
3х1 + 8х2 = 13 х2=35/34
ХG = (27/17;35/34), zG=143/34.
Начнем строить дерево, первая вершина которого будет соответствовать всей ОДП нецелочисленной задачи (G), а ее оценка будет равна zG (рис.22).
Полученный план не является целочисленным, поэтому возьмем его произвольную нецелочисленную компоненту, например, первую (х1 Z; [х1] = [27/17] = 1) и разобьем ОДП на две части следующим образом:
G1 = {X G: х1 1};
G2 = {X G: х1 2}.
Изобразим это графически (рис.23).
Из рис.6 видно, что G2 представляет собой одну точку ХG2=(2;0), следовательно, на этом множестве оптимум задачи равен 4 ( 2=4).
План ХG2 является целочисленным, следовательно, решение целочисленной задачи уже, возможно, найдено. Однако, следует еще найти оценку множества G1. Она может оказаться не менее 4 (но обязательно не более 143/34). Если это так, то нужно проверить, не является ли целочисленным решение задачи на G1. Если оно целое, то является решением задачи, а если нет, то процесс решения необходимо продолжить, разбивая G1.
На G1 точку оптимума можно найти, решив систему уравнений:
х1 = 1 х1=1
3х1 + 8х2 = 13 х2=5/4
ХG1 = (1; 5/4), zG1=13/4.
Оценка меньше 4, следовательно, решением задачи является Х*=ХG2=(2;0),z*=4.
Для задачи с булевыми переменными алгоритм метода ветвей и границ будет тот же, но разбиение проводится по первой по счету переменной, значение которой не равно 0 или 1. На одном подмножестве эта переменная приравнивается 1 (эта ветвь рассматривается вначале), а на другом - нулю.
Следует отметить, что для таких задач разработан более эффективный алгоритм решения (так называемый аддитивный), также основанный на методе ветвей и границ. В нем обычно требуется меньшее число итераций, а кроме того, и расчеты на каждой итерации являются менее трудоемкими, не требуют применения симплекс-метода.
Вопросы и упражнения
1. Как ставится задача целочисленного линейного программирования?
2. Какие существуют подходы к решению такой задачи?
3. В чем заключается идея метода ветвей и границ?
4. Как применяется этот метод к задаче целочисленного линейного программирования?
5. Как применяется этот метод (в ППП QSB) к задачам с булевыми переменными?
6. Решить методом ветвей и границ (и проиллюстрировать решение построением дерева) задачу
max 3х1 + 2х2
7х1 + 5х2 35
9х1 + 4х2 36
х1,2 0
х1,2 Z
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Метод ветвей и границ. Общая схема | | | Целочисленного линейного программирования |