Деление отрезков в заданном отношении

M₁M/ MM₂,λ-заданное число

M₁M= - ₁

MM₂= ₂-

M₁M=λ* MM₂→ - ₁=λ*( ₂- )→(1+λ)* = ₁+λ* ₂→ =( ₁+ λ* ₂)/ (1+λ)

Рассмотрим для осей x, y, z

x=(x₁+λ*x₂)/ (1+λ)

y=(y₁+λ*y₂)/ (1+λ)

z=(z₁+λ*z₂)/ (1+λ)

Для медианы λ=1→ x=(x₁+x₂)/2; y=(y₁+y₂)/ 2; z=(z₁+z₂)/ 2;

Для центра (пересечение медиан) λ=2→ x=(x₁+2*x₂)/3;y=(y₁+2*y₂)/ 3; z=(z₁+2*z₂)/ 3

Скалярное произведение векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними * = * * , свойства:

1) ( * )=( * )

2) ( * )=

3) Скалярное произведение равно нулю, когда один из векторов равен нулю, либо вектора перпендикулярны

4) *( + )= * + *

5) λ*( * =(λ* )*( *λ)

6) ( * )=( * )=( * )=1

( * )=( * )=( * )=0

7) a_x; a_y; a_z ; b_x; b_y; b_z

* = a_x*b_x+a_y*b_z +b_y*b_z вывод формулы:

* =( _x* + _y* + _z* )*( _x* + _y* + _z* )= _x* _x( * )+a_y* _y * * )=a_z* _z*( * )= a_x*b_x+a_y*b_z +b_y*b_z

Вывод формулы угла: * = * * ; * = a_x*b_x+a_y*b_z +b_y*b_z

= (a_x*b_x+a_y*b_z +b_y*b_z)/ * = * / *

и вектора произведения, обладающие следующим вектором -

Свойства:

1) ┴ , ┴ ;

2) = * *

/ , свойства:

1) =-

2) *( + )= * + *

3) λ* = =

4) a_x; a_y; a_z ; b_x; b_y; b_z

Площадь параллелограмма:

Отсюда можно найти S_▲= S_ABCD

Смешанное произведение векторов. Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов , , называется число, определяемое по формуле: =( × )* = *( × )

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. = = .

2. При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. = = =- .

3. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов , , : =0.

4. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. = + V.

Если известны координаты векторов (a_x; a_y; a_z), (b_x; b_y; b_z), (c_x; c_y; c_z), то смешанное произведение находится по формуле:

Дата добавления: 2015-08-27