Влияние кривизны Земли на измерения расстояний и высот

Для обработки результатов геодезических измерений и при получении топографических материалов (крупномасштабного изображения на бумаге физической поверхности Земли) ее точки предварительно проецируют (относят) отвесными линиями на поверхность более простую, чем земная. Такой поверхностью относимости могут быть поверхности референц-эллип­соида, шара, плоскости. Проецирование точек линиями, перпендикулярными к поверхности относимости, называют ортогональным. Получить ортогональную проекцию земной поверхности на плоскость наиболее просто, поскольку при этом не нужно учитывать кривизну Земли. Установим, какого размера должен быть участок земной поверхности, чтобы его можно было считать плоским.

Примем Землю за шар радиусом R (рис.3.1). Сравним длину дуги MB=D с длиной касательной Mb=d. Получим d=R× tg ( ε ) и D=R× ε. Обозначим (d-D) через D d, тогда D d = R ×[tg(e)— e]. Так как величина e мала, то можно принять tg(e) = e + e³/3 + ×××. Тогда

D d = R× e³/3 = R×D ³/3 R ³» d ³/3 R ².

При R = 6000км и d = 10км получим, что D d/d» 10^-6.

Такой погрешностью характеризуются наиболее точные геодезические измерения. Следовательно, участки земной поверхности размером 20х20 км² во всех случаях можно считать плоскими.

Определим величину k, выражающую влияние кривизны Земли на точность определения высот точек земной поверхности. Из прямоугольного треугольника OMb имеем d²= (R+k) ² - R² = 2 Rk + k², откуда

k = d ²/(2 R + k)» d ²/2 R.

Придавая d различные значения, получим следующие значения k:

d, м
k, см	0,1	0,8	2,1	8,3

При возведении строительных конструкций погрешности высотных измерений и построений в среднем не должны превышать 1-2 мм, поэтому влияние кривизны Земли на определение высот должно учитываться [13].

Дата добавления: 2015-08-26