Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x = φ (t), y = ψ (t), α < t < β,

где y = f (x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ' (t) ≠ 0, то

8) "Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

9) Производная показательно степенной функции

Рассмотрим показательно степенную функцию y = u(x)^v(x)

Теорема 11. Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы, тогда функция y = u(x)^v(x) дифференцируема и

Дата добавления: 2015-08-17