Читайте также: |
|
Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной леммевариационного исчисления.
Мы хотим найти такую функцию , которая удовлетворяет граничным условиям
,
и доставляет экстремум функционалу
Предположим, что имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.
Если даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение
, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение
(если
минимизирует его) или уменьшать
(если
максимизирует).
Пусть — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
. Определим
Поскольку даёт экстремум для
, то
, то есть
Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что
Используя граничные условия на , получим
Отсюда, так как — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:
Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 36 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Править] Многомерные вариации | | | править] Обобщение на случай с высшими производными |