Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Читайте также:

Неопределенный и определенный интеграл

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Пример. А) является первообразной для , т.к. . Б) является первообразной для , т.к. .

Если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Например, функции , и вообще ( - некоторая произвольная постоянная) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство: .

Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - некоторая первообразная для , - произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Данная операция является обратной для операции дифференцирования.

Правила интегрирования неопределенного интеграла:

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где - некоторое число.

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Таблица простейших интегралов

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла:

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с использованием основных правил и таблицы простейших интегралов.

Пример. Найти .

2. Метод замены переменной (метод подстановки). Данный метод основан на следующей теореме: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , а - множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда если , то получаем или .

Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную : . Тогда , , т.е. .

Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.

Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).

Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда если вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной: , где и - некоторые числа, .

Алгоритм метода:

1) Делаем замену.

2) Дифференцируем замену .

3) Под знаком интеграла переходим к новой переменной.

4) Находим табличный интеграл.

5) Возвращаемся к старой переменной.

Пример. Найти .

3. Метод интегрирования по частям. Метод основан на теореме: Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке , и функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет первообразную на промежутке , причем справедлива формула . Учитывая, что , получим .

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:

1) при отыскании из выражения для ;

2) при отыскании интеграла от .

Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.

Замечание. За нужно брать то, что после дифференцирования упрощается.

Пример. Найти .

Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы интегрирования по частям:

, где - многочлен, - действительное число

4. Интегрирование рациональных функций.

А) Метод неопределенных коэффициентов: Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби , где - целые многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя . Если , то справедливо следующее разложение:

Для вычисления неопределенных коэффициентов , , обе части тождества приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример. Найти .

Б) Метод Остроградского: Если имеет кратные корни, то , где - общий наибольший делитель многочлена и его производной; ; - многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней и .

Пример. Найти .

5. Интегрирование иррациональных функций.

А) Интегралы вида , где

- рациональная функция, - целые числа, находятся с помощью подстановки , где - общее наименьшее кратное чисел .

Пример. Найти .

Б) Интегралы вида , где - многочлен степени , полагают равными , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами; - число. Коэффициенты и число находят с помощью дифференцирования тождества .