Математика и философия – о различии и сходстве

Негосударственное внутриличностное образовательное учреждение

Сам себе университет

Факультет изучения всего сущего

Размышления

Математика и философия – о различии и сходстве

Выполнил: самоучка 26-го года обучения,

в определенных кругах известный как Влад Велич.

Проверил: таких дураков нет.

Все ошибки на совести автора. Аминь.

Нульгород, 2013 г.

Математика и философия – о различии и сходстве

На первый взгляд вопрос выглядит странным. Кажется, что сходства у математики с философией почти нет, а различия выпячены так, что, проходя мимо, о них ушибаешься. Но – только на первый взгляд.

Очевидно общей чертой математики и философии является тот факт, что и та, и другая являются теориями (или наборами теорий) – то есть плодом размышлений, набором понятий, соединенных рассуждениями. Еще одна общая черта – и философия, и математика предельно абстрактны. Размышления Кантора о дискретных и плотных в себе множествах соответствуют тому же уровню обобщения опыта, что и размышления Гегеля о чистом и наличном бытии. Теоремы Евклида о равенстве треугольников – тому же уровню обобщения опыта, что и рассуждения Шпенглера о судьбе как движущей силе истории. О других общих чертах математики и философии мы поговорим, когда будем рассматривать их кажущиеся различия. Вместо мнимого различия мы вновь и вновь будем обнаруживать сходство.

Попытаемся найти различия в самой природе математики и философии, а не социальные и психологические следствия таких различий. Другими словами, не станем изрекать сентенций вида «математика двигает вперед технологии, а философия – нет!» - «да, но что же ваша математика может сообщить, скажем, о добре и зле, о смысле и предназначении – о самых важных вопросах?». Все это верно, но почему это так? В чем разница между этими двумя теориями, приводящая к такому различию в областях их применимости?

Да, мой нетерпеливый читатель, сейчас мы повторим именно то, что ты прокричал, едва увидев заголовок. Различие в методах. Философы сплошь да рядом позволяют себе такие способы получить утверждение из другого утверждения, за кои в среде математиков полагается расстрел. К сфере философии традиционно относятся учения в духе «верую, ибо абсурдно», творения мыслителей-поэтов а-ля Ницше и т.д. Да и менее радикальные мыслители, вполне согласные давать в хлеборезку за подмену смысла или ложные аналогии, не чураются индукции, «нечеткой логики», «точной чувственной фантазии», «вчувствования» и т.п[1]. В этом первое, очевидное отличие философии как целого от математики. Однако, пользуясь выражениями этой самой математики, «это решение называется тривиальным и в дальнейшем не рассматривается».

Дело в том, что базовые ограничения математики – «от понятий требуется однозначность[2] и непротиворечивость, способом рассуждения является дедуктивная логика, изредка какие-то утверждения вводятся в качестве аксиом» – милы сердцу, по крайней мере, некоторых философов. Они были известны еще древних индийцам[3], не говоря о греках. Назовем философские рассуждения, отвечающие этим требованиям, «рациональной философией» (возможно, для нее уже существует термин, но мне он не известен). «Рациональная философия» мыслима (и с моей точки зрения питомца точных наук является идеалом, к которому должна стремиться любая философия), а главное, она существует. Не знаю, есть ли философские работы, от корки до корки отвечающие ее требованиям (быть может, «Критика чистого разума»? надо ее, наконец, дочитать), но многие отдельные построения различных философов выдерживают критерии «рациональности» (или выглядят как попытки их выдержать). Такие логические цепочки встречаются даже у эмпирика-культуролога Шпенглера, не говоря о мастере рассуждений Канте. Эти отдельные построения и можно рассматривать как реально существующие примеры «рациональной философии», методологически столь же строгой, как и математика. А коли так, встает вопрос, чем она отличается от математики – и отличается ли вообще[4].

Сначала поговорим о мнимых, кажущихся различиях.

Утверждение, что математика, в отличие от философии, все свои понятия строит на понятии числа (что ограничивает предмет ее исследования), наивно и происходит от незнания математики. Геометрия в качестве начальных понятий использует не числа, а точки, прямые и плоскости. Теория множеств рассматривает множества и отношения произвольной природы – набор карандашей в банке и пассажиров в автобусе одинаково попадает в категорию «конечное дискретное множество», параллельность прямых и родство людей равным образом описывается понятием «транзитивное отношение». Теория вероятностей рассматривает события, логика и метаматематика – утверждения и теории, теория алгоритмов – внезапно, алгоритмы.

Утверждение, что философия, в отличие от математики, – «гуманитарная область», наивно со всех сторон. «Гуманитарный», в изначальном смысле – «изучающий человека или общество». Гуманитарны психология, социология, история. Философия имеет разделы, изучающие человека и общество, и, значит, гуманитарна в этой своей части. Математика также имеет разделы, изучающие человека (теория принятия решений) и общество (теория игр, теория коллективного выбора и т.п.), и, значит, гуманитарна в этой своей части[5]. Теория формальных языков соприкасается с гносеологией так же тесно, как и с лингвистикой. Теория чисел, теория множеств и отношений, теория вероятностей и, рискну сказать, чуть ли не все остальные разделы математики больше похожи на онтологию, чем на какую-либо другую область человеческого знания (и, кстати, имеют не больше и не меньше отношения к человеку и обществу, чем оная). Логику математики считают разделом математики, а философы – разделом философии. Метаматематика – область математики, изучающая проблемы доказательства, непротиворечивости, аксиоматического построения теорий и т.п. – настолько смыкается с гносеологией, что может считаться ее разделом.

Наконец, утверждение «каждый философ создает и изучает свою систему, несовместимую с другими, а математика одна на всех» также наивно и отвечает математике XIX века, но не нынешней. Действительно, в философии чуть ли не каждый крупный мыслитель вводит свои понятия и аксиомы, из которых будет делать выводы. Тем, кто не согласен с ними, не имеет смысла продолжать его труды. Но и в математике часто происходит так же. Сейчас каждый математик волен ввести свои понятия и аксиомы, основав новую ветвь математики. Хрестоматийный пример – неевклидовы геометрии. А как Вам «конечные геометрии» – геометрии пространств, состоящих из конечного (!) числа точек? Отдельно хочется сказать о неклассических логиках и разных теориях множеств. Как и в философии, в математике есть множество несовместимых друг с другом, базирующихся на разных системах аксиом теорий. Как и философ, математик волен продолжать разработку любой уже существующей теории или основать свою собственную.

Утверждение, что в математике, в отличие от философии, каждое понятие имеет четкое определение, недалеко от истины, но неверно. Как известно, любое понятие определяется через другие понятия. Чтобы сказать «юрист – это специалист по законам», нужно знать, кто такой специалист и что такое закон. Чтобы сказать «скорость – это расстояние, деленное на время», нужно знать, что такое время и расстояние. Поскольку любое понятие для своего определения требует ссылки на другие понятия, понятий, на которые ссылается самое первое определение, нам определить не удастся. Если, конечно оставаться честными и не допускать порочного круга в определениях (определение разума: «разум – это то, чем человек отличается от животных»; определение человека: «человек – это разумное животное»).

Понятия, которые сами не имеют определений, но служат основой для определения всех других понятий, называются начальными. И без них не обойтись ни в философии, ни в математике, ни вообще где бы то ни было. В математике не существует определений числа, точки, множества. Кроме того, если присмотреться к математическим определениям, окажется, что неопределимых понятий в них заложено куда больше, чем кажется на первый взгляд. «Функцией называется правило, по которому каждому числу из множества А ставится в соответствие одно и только одно число из множества В». Здесь предполагается, что мы знаем, что такое «правило» и «соответствие». Определений этим понятиям не дается – да и как их дать?

Так в чем же разница между математикой и «рациональной философией»?

Мы только что говорили, что и в математике, и в философии есть неопределимые начальные понятия. Однако между такими понятиями в математике и философии есть существенная разница. Даже неопределимые понятия математики интерсубъективны. Невозможно дать определение числа, но «я знаю это, когда вижу это». Все люди под числом понимают одно и то же[6]. То же относится к точке, прямой и другим начальным понятиям математики.

Не то с философией. Шпенглер предлагает использовать в качестве начальных такие понятия, как «становление» и «ставшее», «судьба», «точная чувственная фантазия». Гегель – «бытие-в-себе», «бытие-для-себя» и «бытие-для-другого». Подобные понятия, возможно, и были однозначны для тех, кто их вводил, но вот с интерсубъективностью у них возникла проблема. Очень многие ошибки и трудности в философии порождены непониманием философами друг друга, отсутствием интерсубъективной базы под терминами. Да и возможна ли она для понятий такой сложности? «Ставшее – пространственное, подчиненное причинно-следственным связям, познаваемое логически и математически; становление – временное, подчиненное судьбе, познаваемое интуитивно и чувственно» – это вам не «на рисунке 3 Вы видите точку А и прямую а». И хвала еще Шпенглеру, что он иллюстрирует свои понятия примерами – многие не делают и этого, но кто может гарантировать, что в этих примерах для каждого архивирован тот же невыразимый смысл, что и для автора? Каждый философ знакомится с трудами другого философа, продолжает их или спорит с ними в той мере, в которой он их понял. И начинается – интерпретация, переинтерпретация, «Вы меня не опровергаете, Вы меня не поняли», европейцам не понять, что такое дао, а постмодернисты говорят с ухмылкой, что вообще никому никого не понять, потому что нет понятий, а есть только слова, жонглирование словами…

Более того, помимо разницы в начальных понятиях, существует и разница в определениях. Определения, как известно, делятся на номинальные и реальные. Номинальное определение создает понятие, реальное описывает его. Номинальное определение: «простая кривая – это кривая, которая не пересекает саму себя». Все. Отныне и навсегда простой кривой называется все то, что подходит под определение, и ничто другое. Это удобно, когда вводишь новое понятие.

А если понятие, и притом сложное, уже существует? Мало кому захочется, приняв как номинальное определение хрестоматийное «человек – это двуногое, лишенное перьев», отныне и навсегда причислять к людям ощипанную курицу. И тогда произносится фраза «определение НЕВЕРНО». Очень странная фраза для того, кто привык работать с номинальными определениями. Номинальное определение, какое оно ни есть, вводит определяемое понятие. Если с таким понятием работать неудобно, даем другое определение и вводим другое понятие, говорить о «неверности» определения нельзя. Реальное же определение пытается описать уже существующее понятие. Оно называется верным, если описывает именно требуемое, не больше и не меньше, в противном случае его нужно уточнять.

Ну Вы уже поняли, к чему я это все? Да, математика работает с номинальными определениями. ТОЛЬКО с номинальными определениями (чем, кстати, отличается от физики, которая тоже предпочитает номинальные, но прихватывает и те, и другие). Философия обычно пытается работать с реальными. «Количество», «качество», «реальность», «закон», «знание», «красота», «человек», «благо»… Даже «модус», «субстанция», «акциденция» вначале рождаются как представления о них, а потом более или менее удачно формализуются в определениях. И скорее менее, чем более, потому что понятия эти сложны – может быть, сложны бесконечно, и вдобавок переплетены друг с другом в тех еще гордиевых узлах… которых философы не хотят разрубать упрощением.

Философия отвергает упрощения. Она пытается осмыслить мир сразу во всей его глубине и сложности. Построение «сферических коней в вакууме» ее не привлекает. Поэтому и бьется она двадцать восемь веков над одними и теми же вопросами, ни один не решив до конца.

Математика начинает с простого. Проще. Еще проще. Не будем о категории количества. Поговорим о числе. Какие бывают числа? А если взять, да и поставить одно число в соответствие другому? О, тогда получается функция. А какие бывают функции?

Сейчас математика даже не ставит перед собой специальной цели осмыслять окружающий мир. Это было ее целью примерно до конца XIX века, все разделы математики рождались из попыток решения поставленных природой задач. И определения тогда были реальными. Сейчас математика изучает сама себя. Новое понятие ценно для математика, если о нем можно доказывать теоремы – задавать вопрос, чему соответствует это понятие в человеческом опыте, считается просто неприличным. Можно было бы сказать, что математики оторвались от реальности и удовлетворяют за государственный счет личное любопытство. Вот только история показывает, что самые безумные области математики рано или поздно находят себе практическое применение. Почему так происходит – очень интересный гносеологический вопрос, которого мы здесь касаться не будем.

РЕЗЮМЕ.

Сходные черты философии и математики:

Это теории, оперирующие предельно абстрактными и сколь угодно разнообразными понятиями (вновь подчеркнем, что математика отнюдь не сводится к числам). Истоки этих понятий могут лежать в любой сфере человеческого опыта: от физики до литературы. И в той и в другой области есть направления исследований, несовместимые друг с другом, ибо базирующиеся на разных аксиомах.

Различия философии и математики:

Первое различие в том, что математика гораздо строже в методах, чем философия в целом. Однако есть отдельные философские построения, столь же логически строгие, как и математика. Если ограничиться ими, приходится искать более тонкие различия.

Вот путь математики. Введем такие начальные понятия, чтобы они были «понятны без перевода». Вообще без перевода. «Точка», «число», «событие», «утверждение». Если мы не можем в какой-то области ввести такие понятия, мы не будем исследовать эту область (поэтому, например, до сих пор не существует математической этики). На основе начальных понятий введем новые с помощью номинальных определений. Только номинальных определений. Не важно, видим ли мы этому понятию какое-то соответствие в опыте человечества. Практика показывает, что любое, самое экзотическое математическое понятие рано или поздно находит применение в описании какого-либо явления или создании какой-либо технологии. Мы изучим какую-нибудь узкую и очень специфическую область, зато каждая доказанная теорема, если только в доказательстве нет логических ошибок, окончательна и обжалованию не подлежит. С ней придется согласиться каждому логично мыслящему человеку.

Вот путь философии. Будем исследовать ту область, которая нам представляется важной, независимо от того, насколько она сложна. Введем понятия, отражающие эту область. Если они не понятны «без перевода», попытаемся объяснить так доступно, как сможем. «Становление», «ставшее», «бытие-в» и «бытие-для». Риск, что нас не поймут – неизбежное зло. Будем давать реальные определения – понятия должны отражать предмет исследования. Последующие споры из-за определений полезны, ибо способствуют более глубокому погружению в предмет. Мы обсудим все вопросы, которые хотим, но вряд ли сделаем хоть какие-то выводы, с которыми каждому логично мыслящему человеку придется согласиться в силу их безусловной логической неоспоримости.

Заметьте, я не говорю, что какая-то область хуже или лучше. У каждой есть сильные и слабые стороны. Философия, с тех пор как отделилась от науки, так и не сделала ни одного проверяемого предсказания. Математика, с тех пор как отделилась от философии, так и не сказала ничего о важнейших, базовых вопросах «жизни, Вселенной и вообще». Каждому свое. Просто это было интересно – сравнить две великие области абстрактного мышления.

Ваши мнения, господа.

[1] Отмечу из предосторожности: я не говорю, что это плохо. Это другой способ познания мира, который работает – другое дело, истинные ли приносит результаты? – там, где чистой логикой ничего добиться не удается. Но мы ставим вопрос не хороша философия или плоха, а чем она отличается от математики.

[2] Здесь нужно отличать однозначность понятия для мыслителя, кто его вводит, и его, мыслителя, способность объяснить читателю, что имелось в виду – и к этому вопросу мы еще вернемся.

[3] см. Трипитака (пэлийский канон): Дигха никая: Силаккханда-вагга:«Сутта о сети совершенства», 18,

http://xn--1-7sbaipkia5auwiv.xn--p1ai/Buddizm/Tripitaka/Digha_nikaya/1.html

[4] К слову, единого стандарта строгости не существует и в математике, разные математические школы по-разному отвечают на вопрос, как можно, а как нельзя доказывать теоремы (подробнее см.: Моррис Клайн, «Математика: утрата определенности»).

[5] Можно сказать, что математику интересует не само общество, а математические объекты, его моделирующие, обществом же занимается социология-политология-экономика. Однако с тем же успехом можно сказать, что и философию интересует не сам человек, а философские проблемы, с ним связанные, человеком же занимается психология.

[6] По крайней мере, все люди одной и той же культуры. Известно, что греки оперировали вместо числа в первой степени отрезком, второй – квадратом, а третьей – кубом, благодаря чему их математика не знала степеней выше третьей. Вероятно, их мышление не содержало абстрактного понятия «число», как сознание ребенка до поры до времени не способно выделить из конкретных понятий «пять пальцев» и «пять яблок» абстрактное понятие «пять». Впрочем, гадать, как мыслили люди ушедшей эпохи – то еще развлечение.

Дата добавления: 2015-08-02