Норма вектора, неравенства Шварца, Коши, Буняковского.

Опираясь на скалярное произведение векторов можно ввести понятие нормы (длины) вектора.

Пусть – унитарное пространство со скалярным произведением . Длиной или нормой вектора называется корень квадратный из его скалярного квадрата: (имеется ввиду арифметический корень).

При этом так же, как и , равняется нулю тогда и только тогда, когда .

Теорема: Неравенство Шварца: каковы бы ни были векторы в унитарном пространстве справедливо неравенство:

. (8.1)

Доказательство:

Если , неравенство (8.1) очевидно, т.к. справа стоит неотрицательное число. Поэтому пусть . Рассмотрим скалярный квадрат:

.

Это неравенство справедливо при любом . Возьмем в качестве , где – любое вещественное число. Тогда имеем:

.

Это неравенство должно выполняться при любом вещественном . Его левая часть – квадратный трехчлен относительно с вещественными коеффициентами. Известно, что он принимает неотрицательные значения () тогда и только тогда, когда его дискриминант :

. ЧТД.

Можно показать, что равенство здесь будет тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны (линейно зависимы).

Частные случаи неравенства Шварца в различных унитарных пространствах.

1) В эвклидовом пространстве (обычном 3-мерном пространстве свободных векторов) со скалярным произведением , где неравенство (8.1) очевидно: .

2) В -мерном арифметическом комплексном пространстве с векторами , , со скалярным произведением и нормой в виде

; ,

неравенство Шварца (8.1) принимает вид неравенства Коши:

или .

3) В пространстве всех непрерывных функций на сегменте с векторами , , со скалярным произведением векторов и нормой в виде

;

неравенство Шварца (8.1) принимает вид неравенства Буняковского:

.

Дата добавления: 2015-07-20