Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрические приложения двойного интеграла.

Глава 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ | Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. | Замена переменных в двойном интеграле (общий случай). |


Читайте также:
  1. IV. Асимиляции. Случаи двойного морфологического значения одной функции
  2. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
  3. Билет №28. ВВП и методы его исчисления по расходам и доходам и по добавленной стоимости. Проблемы двойного счета.
  4. В каких случаях обособляются определения и приложения?
  5. Важнейшие типы гибридизации орбиталей и соответствующие им геометрические конфигурации комплексных частиц 1 страница
  6. Важнейшие типы гибридизации орбиталей и соответствующие им геометрические конфигурации комплексных частиц 2 страница
  7. Важнейшие типы гибридизации орбиталей и соответствующие им геометрические конфигурации комплексных частиц 3 страница

 

Как было показано в п.1.1,объем цилиндрического тела находится по формуле:

, (7)

где z = f (x, y) – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. Площадь S плоской области D на плоскости Оху вычисляется по формуле:

(8)

Если поверхность задана уравнением z = f (x, y), , то площадь поверхности вычисляется по формуле:

(9)

Решение типовых примеров:

 

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х =0 .

Решение: Область приведена на рис.24.Ее проекция на оси Ох есть отрезок [0,1] и площадь фигуры вычисляем по формуле (8):

Рис.24

 

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Решение: Область D является сложной, поэтому введем замену переменных

и находим . Тогда

На плоскости Ouv область Ω является кругом, ограниченным окружностью , так что площадь круга равна 64π. Находим площадь области D:

Пример 3. Вычислить площадь петли кривой .

Решение: Под петлей будем подразумевать область, ограниченную данной кривой и расположенную в первой четверти . Воспользуемся обобщенными полярными координатами x = a·r cos φ, y = b·r sin φ, в результате чего уравнение кривой принимает вид или . В эллиптических координатах соответствующая область Ω задается неравенствами , при этом ,т.е. .

 

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z =0, y + z =2 и цилиндром .

Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z =2- у (рис.25), поэтому по формуле (7) . Область D есть параболический сегмент, ограниченный параболой и прямой у =2, проектируя которую на ось Оу, получаем:

 

 

Рис.25 Рис.26

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у=0 и параболоидом .

Решение: В этой задаче удобно считать, что тело стоит на плоскости Oxz и сверху ограничено параболоидом (рис.26), а область D есть круг с границей . Поэтому вычисляем объем следующим образом:

 

Задача 6. Вычислить площадь поверхности параболоида z = xy, лежащей внутри цилиндра .

Решение: Площадь поверхности вычисляем по формуле (9), при этом , и . Поскольку область D - круг , то при вычислении двойного интеграла переходим к полярным координатам.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 215 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Переход к полярным координатам в двойном интеграле.| Физические приложения двойного интеграла.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)