Читайте также: |
|
ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
1. Найдите матрицу из уравнения
.
2. Найдите точку пересечения прямой, проходящей через точки и
, с
плоскостью, проходящей через точки ,
и
.
3. В условиях задачи 2 вычислите векторное произведение векторов и
. и смешанное
произведение векторов ,
и
.
4. Для матрицы вычислите матрицу
и подсчитайте
, где
угол между
линейно независимыми собственными векторами матрицы .
5. Для матрицы найдите обратную матрицу
и сделайте проверку.
6. Решите систему линейных уравнений
а) для случая ; б) в общем случае; в) найдите наименьшее по длине решение.
7. Найдите величину угла между векторами и
,
если матрица Грама базиса равна
.
8. В условияхпредыдущей задачи найдите площадь треугольника, построенного на векторах , и объем тетраэдра, построенного на базисных векторах.
9. В базисе из задачи 7 линейный оператор
имеет матрицу
,
а вектор . Найдите матрицу сопряженного оператора
в том же базисе и
вычислите координаты векторов и
в базисе
.
10. В некотором ортонормированном базисе линейный оператор
имеет матрицу
.Найдите ортонормированный базис, в котором матрица оператора диагональна.
11. В условиях задачи 10 представьте вектор в виде суммы двух собственных
векторов оператора .
12. В параллелепипеде заданы координаты четырех вершин:
. Найдите координаты точки
. Вычислите площадь треугольника
и объем параллелепипеда.
13. В условиях задачи 12 найдите расстояние от точки до прямой
, координаты проекции
точки на прямую
и координаты точки, симметричной точке
относительно прямой
.
14. В условиях задачи 12 найдите расстояние от точки до плоскости
, вычислите
координаты вектора, являющегося проекцией вектора на плоскость
, и найдите
величину угла между прямой и плоскостью
.
15. В условиях задачи 12 найдите величину угла между плоскостями и
.
16. В условиях задачи 12 напишите формулы перехода от базиса к новому базису.
.
17. Линейный оператор является оператором проектирования векторов трехмерного пространства на плоскость
из задачи 12. Найдите матрицу этого оператора в базисе
, укажите собственные числа и собственные векторы этого оператора. Выясните, является ли этот оператор самосопряженным. Проверьте равенство
для любого вектора
.
18. Линейный оператор в базисе
(здесь
) имеет матрицу
.Найдите матрицу этого оператора в базисе
(здесь
),
19. Укажите базис , в котором матрица оператора из задачи 18 диагональна.
20. Квадратичная форма задается формулой , где
суть координаты вектора
в базисе
из задачи 18. Найдите матрицу этой квадратичной формы в базисе
из задачи 18.
21. Приведите квадратичную форму из задачи 20 к диагональному виду.
22. Укажите, при каких значениях параметра p квадратичная форма а) положительно определена,
б) отрицательно определена.
23. Найдите базис в линейной оболочке пяти векторов пространства
.
и разложите каждый из этих векторов по выбранному Вами базису.
24. Опишите процедуру построения матрицы линейного оператора в заданных базисах.
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 62 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Словарь биохимических терминов | | | Химическая связь и строение вещества |