Перевод фразы жирного тони «это не одно и то же» на язык математики, или Когда путают события и связанный с ними риск

В этом примечании я объясню также, что такое «выпуклая трансформация».

Пусть f (x) – это риск, связанный с переменной x. Можно также назвать f (x) «отдачей от x», «воздействием x», даже «полезностью отдачи от x», если функция f – это функция полезности. Переменная x может обозначать что угодно.

Пример: x – мощность землетрясения по какой‑то шкале в определенной местности, f (x) – число людей, погибших в результате землетрясения. Как легко заметить, f (x) более предсказуемо, чем x (если мы переселим людей из этой местности, введем новые строительные нормы и правила и т. д.).

Пример: x – количество метров, которые я преодолеваю до столкновения с землей, когда кто‑то сталкивает меня с высоты x, f (x) – состояние моего здоровья после падения. Разумеется, я не могу предсказать x (или предугадать, кто именно меня столкнет), в отличие от f (x).

Пример: x – количество машин в Нью‑Йорке завтра днем, f (x) – время моей поездки из пункта А в пункт Б с определенной целью. f (x) может быть более предсказуема, чем x (поезжайте на метро, а еще лучше – прогуляйтесь).

Некоторые говорят про f (x), полагая, что они говорят про x. Это проблема смешения события и связанного с ним риска. Эта ошибка появилась еще у Аристотеля и распространилась в философии вероятности повсеместно (возьмите Иэна Хэкинга).

Можно стать более антихрупким в отношении x, не понимая x, – посредством выпуклости f (x).

Ответ на вопрос «что делать в мире, который мы не понимаем?» очень прост: нужно работать с нежелательными величинами f (x).

Часто куда легче модифицировать f (x), чем узнать что‑либо про x. (Другими словами, проще стать неуязвимым, чем предсказать Черных лебедей.)

Пример: если я приобретаю страховку от падения рынка (здесь x) больше чем на 20 процентов, f (x) не зависит от той части распределения вероятностей, где x падает ниже 20 процентов, и невосприимчива к изменению параметра масштаба. (Это пример штанги.)

^{Рис. 27. Выпуклая трансформация (f (x) – выпуклая функция от x). Разница между x и риском, который связан с x. На втором графике риск потерь отсутствует. Главное – модифицировать f (x) так, чтобы свойства x на левом графике распределения вероятностей волновали нас как можно меньше. Этот метод называется выпуклой трансформацией, иначе – «стратегия штанги».}

Заблуждение «зеленого леса»: когда путают f (x) с другой функцией g (x), у которой наблюдается другая нелинейность.

Математическим языком: если мы антихрупки в отношении x, разброс (или переменчивость, или другие меры дисперсии) величины x выгоден f (x), потому что математическое ожидание асимметричного распределения зависит от дисперсии, и если распределение скошено вправо, дисперсия всегда увеличивает его ожидание (у логнормального распределения, например, формула математического ожидания включает в себя компоненту +½ σ²).

Далее, распределение вероятностей для f (x) существенно отличается от распределения вероятностей для x, особенно в условиях нелинейности.

Когда f (x) выпукла (вогнута) монотонно, f (x) скошена вправо (влево).

Когда f (x) возрастает и выпукла слева, но вогнута справа, у распределения вероятностей для f (x) более тонкие хвосты, чем у распределения для x. Так, в теории перспектив Канемана‑Тверски полезность изменений благосостояния более «неуязвима», чем полезность самого благосостояния.

Почему отдача важнее, чем вероятность (специальный раздел): Если p (x) – это плотность, то математическое ожидание ʃ f (x) p (x) dx, зависит больше от f, чем от p, и чем более нелинейно f, тем больше оно зависит от f, чем от p.

Четвертый квадрант (Taleb, 2009)

Идея проста: хвостовые события нельзя рассчитать (в областях жирных хвостов), однако мы можем оценить, чем именно рискуем, если такие события произойдут. Пусть f (x) – возрастающая функция. Таблица 10 связывает ее с понятием Четвертого квадранта.

_{Таблица 10}

Локальная и глобальная выпуклость (специальный раздел)

Ничто по своей природе не бессмертно; для любой вещи максимальный исход – это смерть. Потому явления обычно выпуклы на одном конце и вогнуты на другом.

Максимальный ущерб, который можно нанести биологическому организму, на самом деле ограничен. Вернемся к вогнутому графику в примере с большим камнем и маленькими камнями в главе 18: расширяя область значений переменной, мы увидим, что ограниченность вреда где‑то обретет выпуклость. Вогнутость здесь доминирует, однако она локальна. Рисунок 28 показывает, чем может продолжиться история с большим камнем и множеством малых.

^{Рис. 28. На левом графике показана более широкая область значений переменной в истории с раздробленным камнем из главы 18. С какой‑то точки вогнутость превращается в выпуклость с беспредельной пользой (ведущей в Крайнестан). Такая отдача возможна только с экономическими переменными, скажем, с продажами книг или чем‑то, что не имеет (или почти не имеет) ограничений. Обнаружить подобный эффект в природе я не могу.}

^{Рис. 29. Слабая антихрупкость (Среднестан) с ограниченным максимумом. Типична для природы.}

Странная нелинейность (очень специальный раздел)

Следующие типы нелинейности не встречаются почти нигде, кроме как в экономике; конкретнее, область их применения ограничена сделками с деривативами.

^{Рис. 30. На верхнем графике изображена выпукло‑вогнутая возрастающая функция, противоположная ограниченным функциям «доза‑реакция», которые мы встречаем в природе. Она превращается в хрупкий (очень жирные хвосты) тип 2. Нижний график демонстрирует наиболее опасную функцию – псевдовыпуклую: локальная антихрупкость, глобальная хрупкость.}

Медицинская нелинейность и ее связь с вероятностями (главы 21 и 22)

^{Рис. 31. Медицинская ятрогения: случай маленьких приобретений и огромных потерь а‑ля Черный лебедь в пространстве вероятностей. Ятрогения имеет место, когда скромная очевидная польза (скажем, когда мы, приняв лекарство, избавляемся от небольшого дискомфорта или неопасной инфекции) сочетается с риском Черных лебедей и отложенными, пока что невидимыми чудовищными побочными эффектами (скажем, смерть). Подобные вогнутые блага в области медицины похожи на торговлю финансовыми опционами (чрезвычайно рискованную). Польза от врачебного вмешательства мала, при этом утверждается, будто «доказано», что побочных эффектов нет. Если коротко, для здорового человека тут есть маленькая вероятность катастрофических последствий (их не берут в расчет, так как они невидимы) и высокая вероятность небольшой пользы.}

^{Рис. 32. Нелинейность в биологии. Выпукло‑вогнутая кривая всегда наблюдается там, где некая переменная возрастает (монотонно, то есть никогда не убывает) и ограничена при этом минимальным и максимальным значениями, иначе говоря, ни с одной стороны не уходит в бесконечность. При малых дозах реакция выпукла (причем эффективность постепенно возрастает). Дополнительные дозы убавляют эффективность или начинают вредить. То же относится к любому продукту, который мы употребляем в пищу слишком регулярно. Такой тип графика всегда встречается в ситуациях, когда имеется ограничение с обеих сторон и известны минимум и максимум (насыщение), в том числе и когда мы говорим о «счастье».}

^{Так, если принять, что существует максимальный уровень счастья и несчастья, тогда к понятию «счастье» применима та же форма кривой с выпуклостью в левой части и вогнутостью в правой (замените «дозу» на «богатство» и «реакцию» на «счастье»). В теории перспектив Канемана‑Тверски такую же форму имеет кривая «полезности» изменений благосостояния, причем эта форма была определена эмпирическим путем.}

^{Рис. 33. Вспомните пример с гипертонией. На вертикальной оси отображается польза от лечения, на горизонтальной – тяжесть состояния больного. Стрелка указывает на уровень, при котором вероятная польза соответствует вероятному вреду. Ятрогения исчезает нелинейно как функция от тяжести состояния. То есть когда пациент очень болен, распределение смещается к антихрупкости (правый хвост становится толще), при этом польза от лечения превышает возможную ятрогению, потому что больному почти нечего терять.}

^{При увеличении интенсивности лечения вы достигнете зоны вогнутости с максимальной пользой (на графике не показана). Если взять более широкую область значений переменной, график будет похож на предыдущий.}

^{Рис. 34. Верхний график демонстрирует явление гормезиса (аналогично рис. 19): сначала по мере увеличения дозы увеличивается и польза (в начале кривая выпукла), потом происходит ослабление реакции, после какой‑то точки лечение начинает вредить организму (на этом участке кривая вогнута); затем ущерб прирастает медленнее, а с какой‑то точки кривая превращается в прямую (то есть наступает смерть, которая естественным образом ограничивает уровень ущерба здоровью, – в биологии это худший вариант из возможных). Внизу мы видим неверный график гормезиса, приводимый в медицинских учебниках: здесь кривая вогнута, в самом начале это почти прямая, чуть вогнутая линия.}

Дата добавления: 2015-07-20