Метод наименьших квадратов.

Аппроксимация

На практике часто возникает задача построения аналитической зависимости у = f(x) для функции, заданной таблично. Например, вольт - амперная характеристика U(I') нелинейного элемента (диода, транзистора, электронной лампы и т. д.) цепи может быть задана таблично. Для нахождения силы тока и напряжения в цепи желательно иметь аналитическую зависимость вольт - амперной характеристики. Очень часто, особенно при анализе экспериментальных данных, возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x y=f(x)

y – зависимая переменная; x – независимая переменная.

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y=a+bx

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии: нелинейные относительно независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по параметрам.

Регрессии, нелинейные по независимой переменной:

² полиномы разных степеней y=a+b₁x+b₂x²+b₃x³

² равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

² показательная

² степенная

² экспоненциальная

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, применяют метод наименьших квадратов (МНК). В МНК подбирают параметры искомой формулы таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических значений y_f, вычисленных по формуле, минимальна, т.е.

Если величину S рассматривать как функцию нескольких переменных S (a, b,...) и воспользоваться теорией экстремумов, то при предположении о дифференцируемости f получаются необходимые условия для определения параметров a, b...:

(система «нормальных» уравнений)

Как правило, общий вид этой функциональной зависимости известен, а числовые параметры неизвестны.

Пусть, например, функция задана в виде таблицы (x_i; y_i), i = 1, 2,..., n.

---

Дата добавления: 2015-07-19