Примеры решения задач. Пример 1.На частицу, которая в момент имела импульс , действует в течение промежутка

Пример 1. На частицу, которая в момент имела импульс , действует в течение промежутка времени сила, зависящая от времени по закону , где – постоянный вектор. Найти импульс частицы после окончания действия этой силы.

Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что сила прекратит действовать на частицу в момент времени , тогда, используя закон изменения импульса

получим

.

Пример 2. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью м/с, разрывается на два одинаковых осколка на высоте м. Один из осколков падает через время с на землю точно под местом взрыва. Определите величину и направление скорости второго осколка сразу после взрыва.

Решение. Будем считать время взрыва настолько малым, что за это время импульс системы “снаряд – осколки ” не меняется

.

До взрыва (см. рис. 1) импульс снаряда горизонтален, сразу после взрыва он равен сумме импульсов осколков, один из которых направлен вертикально вниз, а второй вверх под углом к горизонту. Запишем закон сохранения импульса

,

где – масса одного из осколков, – скорость снаряда; – начальная вертикальная скорость первого осколка; – скорость второго осколка.

Из рисунка следует, что

Таким образом,

, ,

где - угол, между направлением второго осколка и горизонтом.

Для нахождения величины скорости первого осколка, введем ось , направленную вертикально вниз. За начало отсчета оси выберем точку разрыва снаряда (см. рис. 1). Запишем закон движения этого осколка вдоль оси

В момент времени , когда осколок достигнет поверхности земли, его координата будет равна Тогда из закона движения осколка, получаем

,

откуда следует, что

м/с.

Тогда скорость второго осколка, и угол будут равны:

м/с, .

Пример 3. Человек массы находится на плоту массы , который покоится на поверхности озера. Человек совершил перемещение относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдите перемещение плота относительно берега.

Решение. Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему “человек – плот” равна нулю. Тогда из уравнения (5) следует, что скорость центра масс системы относительно воды в процессе движения остается неизменной, т.е. будет равна нулю. Таким образом, положение центра масс данной системы, меняться не будет. Из уравнения (2) получаем, что

,

где и – радиус-векторы, характеризующие положения человека и некоторой точки плота относительно берега. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов и

.

Так как приращения и представляют собой перемещения человека и плота относительно берега, и , найдем перемещение плота относительно берега:

.

Пример 4. Через блок перекинут нерастяжимый шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на другом конце – уравновешивающий груз массы (см. рис. 2). Человек, масса которого , совершил вверх перемещение относительно лестницы и остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, найдите перемещение цента масс этой системы.

Решение. В системе отсчета, связанной с осью блока, положение центра масс данной системы характеризуется радиус-вектором

,

где , и – радиус-векторы центров масс уравновешивающего груза, лестницы и человека относительно, например, центра блока . Отсюда перемещение центра масс системы

,

где , и – перемещения уравновешивающего груза, лестницы и человека. Так как шнур нерастяжим

,

и

,

найдем перемещение центра масс данной системы

.

Таким образом, перемещение центра масс всей системы совпадает по направлению с перемещением человека относительно лестницы, и полученный результат не зависит от характера движения человека.

Пример 5. Две небольшие шайбы, массы которых и , связаны между собой нитью длины и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость первой шайбы равна нулю, а второй – , причем ее направление перпендикулярно нити. Найдите силу натяжения нити в процессе движения.

Решение. Решим задачу в системе отсчета, связанной с центром масс. В этой системе шайбы движутся по окружностям вокруг центра масс – точки (см. рис. 3), расстояние которой относительно груза найдем с помощью одного из уравнений системы (3)

.

Силу натяжения нити можно найти, например, из уравнения

, (6)

где – скорость шайбы массы относительно точки Подобное выражение можно было бы записать и для другой шайбы.

Найдем скорость первой шайбы относительно точки Для этого определим сначала скорость центра масс относительно плоскости. Так как импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость центра масс

получим

.

Используя формулу преобразования скоростей , где – скорость первой шайбы относительно плоскости, найдем

.

После подстановки модуля скорости и формулы для в выражение (6), найдем силу натяжения нити

где – – приведенная масса двух тел (часто встречающаяся величина, при рассмотрении двух тел)

Пример 6. Пушка массы начинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей угол с горизонтом. Когда пушка прошла путь , произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном направлении (см. рис. 4), а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда, найдите продолжительность выстрела.

Решение. На систему “пушка-снаряд” действуют две внешние силы – сила тяжести и сила реакции опоры Запишем закон изменения импульса

в проекции на ось

Проинтегрировав правую и левую части этого уравнения, получим

, (7)

где – проекция импульса системы на ось до выстрела, – проекция импульса системы на эту ось сразу после выстрела, – продолжительность выстрела. Тогда уравнение (7) принимает вид

, (8)

где – проекция на ось скорости пушки перед выстрелом.

Скорость найдем из закона сохранения энергии. Так как наклонная плоскость гладкая, то

,

откуда

.

Подставляя это выражение в уравнение (8), найдем продолжительность выстрела

.

Задача 7. На покоящейся тележке массы стоят два человека, масса каждого из них равна . Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью относительно тележки:

а) одновременно; б) друг за другом.

В каком случае скорость тележки будет больше?

Р е ш е н и е. а) Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, так как сумма внешних сил, действующих на систему (сил тяжести и сил реакций опоры) равна нулю. В начальный момент времени тележка покоится, поэтому импульс системы равен нулю. Конечный импульс равен

где и – скорости тележки и двух человек относительно земли сразу после прыжка. Для того чтобы найти скорость проанализируем процесс движения человек относительно тележки. Как только оба человека начнут перемещаться относительно тележки, она начнет двигаться в противоположную сторону. В момент времени, когда оба человека спрыгнут с тележки, она будет двигаться со скоростью , поэтому

Запишем закон сохранения импульса

откуда находим скорость тележки после одновременного прыжка двух человек

(9)

б) Пусть скорость тележки с оставшимся на ней человеком, после того как спрыгнет первый человек, будет равна Запишем закон сохранения импульса

откуда

Перед тем, как второй человек начнет перемещаться относительно тележки, импульс системы равен Обозначим скорость тележки, после того как спрыгнет второй человек через тогда закон сохранения импульса для этого процесса будет иметь вид

откуда находим скорость тележки, после того как два человека спрыгнут друг за другом

или

(10)

Из уравнений (9) и (10) следует, что

т.е. во втором случае скорость тележки больше, чем в первом.

Дата добавления: 2015-07-19