Опр. 2. Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число с, которое в сумме с числом b дает число а.

Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Необходимое и достаточное условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел, ее единственность.

Опр. 1. Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число а — b, равное числу элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что

п (А) = а, п (В) = b и В ⊂ А.

а — b = п (А \ В), где т(А) = а, т(В) = b и В ⊂ А.

Выясним связь, существующую между операциями вычитания и сложения.

Пусть даны целые неотрицательные числа а и b. Построим множества А и В такие, что т(А) = а, т(В) = b и В ⊂ А. Тогда по опр. 1. разность а — b = п (А \ В). Множества А, В и А \ В изображены на рис.

Так как В Ì А, то А можно представить в виде объединения множества В и его дополнения А \ В, тогда А = В U А \ В, следовательно п (А) = п (В U А \ В).   Поскольку множества В и А \ В не

пересекаются, то по определению суммы п (А) = п (В) + п (А \ В), т.е. а = b + (а — b). Если обозначить а — b = с, то а = b + с

Последнее равенство позволяет дать следующее определение разности.

Опр. 2. Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число с, которое в сумме с числом b дает число а.

а — b = с <=> а = b + с

Теорема 1. Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b ≤ а.

("а, b ∈ Z₀)(∃!с ∈ Z₀)(с = а – b <=> b ≤ а).

Доказательство теоремы состоит из двух этапов:

I. Необходимость условия существования разности:

Пусть разность а – b существует, тогда по опр.2 существует такое целое неотрицательное число с, что а = b + с.

Если с = 0, то b = а.

Если с > 0, то b < а.

Итак, b ≤ а, ч.т.д.

II. Достаточность условия существования разности:

Если b = а, то а — b = 0 и, следовательно, разность а — b существует.

Если b < а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а = b + с. Тогда по определению разности с = а — b, т.е. разность а — b существует.

Теорема 2. Если разность целых неотрицательных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство

Докажем теорему методом от противного: предположим, что существуют два значения разности с₁ и с_2, такие, что с₁ ≠ с_2,

т.е. а — b = с₁ и а — b = с₂.

Тогда по опр.2 имеем а = b + с₁ и а = b + с₂.

Отсюда в силу транзитивности отношения «равно» имеем

b + с₁ = b + с₂. ⇒ с₁ = с_2,

Получили противоречие, следовательно предположение неверно и разность единственна, ч.т.д.

---

Дата добавления: 2015-07-19