Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. В плоском воздушном конденсаторе, заряженном до некоторой разности потенциалов, пластины притягиваются друг к другу с силой F ₀. Во сколько раз изменится сила притяжения пластин, если конденсатор опустить в керосин, относительная диэлектричес­кая проницаемость которого ε = 2. Задачу решить для двух случа­ев: 1) конденсатор отключается от батареи до опускания в диэлектрик; 2) конденсатор все время остается соединенным с батареей.

ДАНО: F ₀ e = 2

F –?

АНАЛИЗ. Сила, с которой пластины притягиваются друг к другу, определяется величиной напряженности электрического поля, созданного в конденсаторе. Вектор напряженности направлен по нормали к пластинам, поэтому Е = Е , и в диэлектрике значение Е уменьшается в ε раз.

РЕШЕНИЕ. В отсутствие диэлектрика сила, с которой притягиваются пластины, F ₀ = E ₀ q ₀, где Е ₀ – напряженность поля, создаваемого одной из пластин в ва­кууме; q ₀ – абсолютная величина заряда одной из пластин.

Если диэлектрик заполняет все пространство между пластинами, то сила, действующая на каждую из пластин, равна F ₁ = E ₁ q ₁, где Е ₁ – поле одной из пластин в диэлектрике; q ₁ – заряд пласти­ны.

Если конденсатор до погружения в диэлектрик отключен от ба­тареи, то постоянным будет оставаться заряд каждой пластины q ₁ = q ₀ = . В результате появления поля связанных зарядов напряженность поля каждой пластины уменьшится в ε раз, поэтому E ₁ = E ₀/ε и F ₁ = E ₀ q ₀/ε = F ₀/e = F ₀/2.

Если конденсатор все время соединен с батареей, постоянной будет разность потенциалов между обкладками, поэтому не изменится и напряженность поля, создаваемого каждой пластиной: E ₂ = E ₀ = . Это объясняется тем, что действие связанных зарядов компенсирует­ся добавочными зарядами, посылаемыми батареей. Абсолютное значе­ние заряда пластины при этом увеличится в ε раз, т. е. q ₂ = q ₀ε. Следовательно, F ₂ = q ₂ E ₂ = q ₀ε E ₀ = F ₀ ε = 2 F ₀.

Правильность формул по размерности очевидна.

ОТВЕТ: 1) F ₁ = F ₀/2; 2) F ₂ = 2 F _0.

ЗАДАЧА 2. Между пластинами плоского конденсатора, находящи­мися на расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потен­циалов 100 В. К однойиз пластин прилегает плоскопараллельная пластинка бромистого таллия(ε₁ = 173) толщиной d ₁ = 9,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку вынимают. Какова после этого будет разность потенциалов между пластинами конденсатора?

ДАНО: d = 0,01 м d ₁ = 9,5×10^–3 м 100 B ε₁ = 173 e₂ = 1

U –?

АНАЛИЗ. В задаче рассматривается конденсатор, отключенный от источника напряжения. В этом случае заряд на обкладках остается неизменным, и напряженность поля, создаваемого свободными зарядами, постоянна: .

Напряжение U зависит от напряженности поля конденсатора, после удаления пластинки , где d – расстояние между обкладками. Для нахождения величины необходимо учесть, что в начале эксперимента напряжение , где и – напряжения в пластинке и в вакууме соответственно.

Для определения этих напряжений следует записать граничные условия (на границе диэлектрик-вакуум) и воспользоваться связью напряженности и потенциала.

РЕШЕНИЕ. Очевидно, U ₁ = E ₁ d ₁, U ₂ = E ₂ d ₂, тогда

U ₀ = E ₁ d ₁+ E ₂ (d – d ₁). (2.2.1)

Поле внутри конденсатора однородно, и вектор направлен по нор­мали к поверхности пластин:

.

На границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора смещения не изменяется, D _{1 n} = D _{2 n} . Принимая во внимание, что D _{1 n} = ε₁ε₀ E _{1 n} , D _{2 n} = ε₂ε₀ E _{2 n} , получим E ₁ = E ₂ε₂/ε₁ . Подставим найденную величину E ₁ в равенство (2.2.1):

Тогда и

Проверим размерность: Подставив значения, получаем

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 3. В пространстве, наполовину заполненном парафином (ε = 2), создано однородное электрическое поле, напряженность ко­торого в воздухе Е ₁ = 2 В/м. Вектор образует угол = 60° с границей парафин-воздух, которую можно считать плоской (рис. 2.2.1). Определить векторы электрического смещения, напряженности и поля­ризации в парафине.

ДАНО: ε = 2 Е ₁ = 2 В/м = 60°

АНАЛИЗ. Задача рассматривает условия на границе раздела двух сред – вакуума и диэлектрика (парафина). Для ее решения необходимо учесть, что нормальная составляющая вектора напряженности при переходе через границу раздела меняется скачком, а тангенциальная остается постоянной. Вектор электрического смещения при переходе через границу раздела меняет свою тангенциальную составляющую , оставляя неизменной нормальную . Вектор поляризации находим из определения вектора смещения .

а) б)

Рис. 2.2.1

РЕШЕНИЕ. Связь между векторами и определяется соотно­шениями:

(2.2.2)

индексы n и τ обозначают нормальные и тангенциальные состав­ляющие векторов по отношению к границе раздела. На границе выпол­няются условия

D _{1 n} = D _{2 n} , E _1τ = E _2τ. (2.2.3)

Для воздуха ε = 1 и D _{1 n} = ε₀ E _{1 n} .

Из соотношений (2.2.2) и (2.2.3) получаем E _{1 n} = ε E _{2 n} , D _1τ = D _2τ ε.

Значение D ₂ равно:

Из рис. 2.2.1 б видно, что, поэтому

.

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив численные значения, получаем

Направление вектора задано углом β,

°.

Определим модуль вектора напряженности электрического поля в парафине. На рис. 2.2.1 a видно, что

в воздухе поэтому

Правильность формулы поразмерности очевидна. Подставив значения, получаем:

Вектор образует с границей раздела угол β¢:

°.

Таким образом, при переходе через границу векторы и остаются коллинеарными друг другу.

Вектор поляризации определим из выражения

(2.2.4)

причем совпадает по направлению с и и в выражении (2.2.4) можно перейти к скалярной форме: Подставив значения, получаем

ОТВЕТ: Кл/м², , °, Кл/м².

ЗАДАЧА 4. Металлический шар радиусом R ₁ = 2 см с зарядом q ₁ = 3×10^–8 Кл окружен вплотную примыкающим к нему концентрическим слоем парафина с наружным радиусом R ₂ = 4 см и диэлектрической про­ницаемостьюε = 2 и металлической концентрической оболочкой, ра­диусы которой R ₃ = 6 см и R ₄ = 8 cм (рис. 2.2.2). Какой заряд q ₂ надо сообщить этой оболочке, чтобы потенциал шара был равен нулю? Определить поверхностные плотности связанных зарядов на обеих поверхностях диэлектрика. Построить графики зависимости D_r (r), E_r (r)иj(r)для найденного значения q ₂.

ДАНО: R ₁ = 0,02 м R ₂ = 0,04 м R ₃ = 0,06 м R ₄ = 0,08 м q ₁=3×10^–8 Кл ε = 2

q ₂, D_r (r), E_r (r), j(r) –?

АНАЛИЗ. Поле заряда q ₁ вызывает появление индуцированных зарядов на поверхности металлической оболочки и связанных заря­дов на обеих поверхностях диэлектрика вследствие его поляризации. Таким образом, результирующее поле создается свободными зарядами q ₁ и q ₂, индуцированными зарядами q ¢ и q ² и связанными зарядами. Сферическая симметрия всех тел системы позволяет пред­полагать равномерное распределение зарядов по соответствующим по­верхностям и радиальное направле­ние силовых линий (рис. 2.2.2). Поэ­тому электрическое смещение поля будем оп­ределять по теореме Гаусса

. (2.2.5)

Напряженность найдем из соотношения: .

Далее, используя связь напряженности и потенциала, находим выражение для jи, приравняв его к нулю, определяем заряд q ₂, который необходимо сообщить оболочке.

Рис. 2.2.2  

РЕШЕНИЕ. Вспомогательную поверхность пло­щадью S ₁ и радиусом r ₁ постро­им в виде сферы, концентричной рассматриваемой системе:

R ₁ < r ₁ < R ₂.

Вектор направлен по радиусу к поверхности S ₁ и совпадает по направлению с нормалью к этой по­верхности, т. е. векторы и направлены одинаково, и про­екция вектора на направление радиуса к поверхности равна его модулю D_r = D, D > 0.

Значение D во всех точках поверхности S ₁, одинаково вследствие сферической симметрии, поэтому

. (2.2.6)

Сумма свободных зарядов, охваченных поверхностью S ₁ равна

(2.2.7)

Из(2.2.5), (2.2.6) и (2.2.7) имеем , и при .

Правильность формулы по размерности очевидна.

Область между сферами радиусов R ₂ и R ₃ не заполнена диэлектриком, т.е. поверхность радиусом R ₂ является границей раздела среддиэлектрик-вакуум. Нормальная составляющая вектора , равная D_r, проходит через эту границу, не изменяясь, следовательно, при .

График зависимости D_r (r) для области r ₁< R ₃ представлен на рис. 2.2.3.

Рис. 2.2.3

Внутри металлического шара и металлической оболочки поля нет, E = 0, следовательно, и D = 0.

Найдем зависимость D_r (r) вне металлической сферы при r > R ₄. Заряд q ₂, сообщаемый оболочке, может быть как положительным, так и отрицательным, следовательно, знак проекции D_r не определен. Построим сферическую поверхность S ₂ радиусом r ₂ > R ₄. Эта поверхность охватывает свободные заряды q ₁+ q ₂, поэтому , и при .

Чтобы построить график зависимости D_r (r), необходимо знать заряд q ₂.

Найдем напряженность поля в разных областях из соотношения: Имеем

при

при

при (2.2.8)

при

при

Из выражений (2.2.8) видно, что область R ₁ < r < R ₃ разбивается на две, т.к. нормальная составляющая терпит разрыв на грани­це раздела диэлектрик-вакуум, т. е. при r = R ₂.

Найдем потенциал поля, воспользовавшись связью напряженности и потенциала

. (2.2.9)

Подставив (2.2.8) в (2.2.9), имеем

Здесь учтено, что , т. к. при .

Окончательно получаем

По условию задачи j₁ = 0, поэтому

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, имеем

Мы получили, что , т. е. q ₁ + q ₂<0, следовательно, при r > R ₄ D _r < 0, и Е_r < 0. Зная q ₂, можно построить графики зависимостей D_r (r)и E_r (r) (рис. 2.2.3 и 2.2.4).

Рис. 2.2.4

Построим график j = j(r), исходя из зависимости Е_r (r) и учитывая, что . При r < R ₁, E ₁ = 0 и j(r) = const = 0.

При R ₁ < r < R ₂ , E _r > 0, значит, , j(r) убывает с ростом r. При R ₂ < r < R ₃ зависимость j (r) аналогична. В области R ₃ < r < R ₄, E _r = 0 и j(r) = const, график имеет вид горизонтальной прямой. При r > R ₄, E_r < 0,т. е. ,и функция возрастает с ростом r, при r→ ∞ функция стремится к нулю. В точках r = R ₁, r = R ₂, r = R ₃, r = R ₄, где функция E_r (r) терпит разрыв, на графике j(r) – это точки излома (рис. 2.2.5).

Рис. 2.2.5

Определим поверхностные плотности связанных зарядов s₁¢ (при r = R ₁) и s₂¢ (при r = R ₂) на поверхности диэлектрика. Под действием электрического поля шара радиусом R ₁ на внутренней стороне диэлектрического слоя появился связанный заряд , а на внешней стороне – связанный заряд . Знак заряда q ₂¢ совпадает со знаком заряда q ₁, а знак заряда q ₁¢ ему противоположен. Согласно закону сохранения заряда

q ₁¢– q ₂¢ = 0. (2.2.10)

Поверхность сферы радиусом r = R ₁ является границей раздела сред металл-диэлектрик. Нормальная составляющая вектора , равная , на этой поверхности терпит разрыв, изменение равно

, (2.2.11)

где – поверхностная плотность свободных зарядов. При этом

, (2.2.12)

где Е _{1 r} – напряженность поля в диэлектрике, Е _{2 r} – в металле. Объединяя (2.2.11) и (2.2.12) получаем

.

Отсюда

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем

Поверхность сферы радиусом r = R ₂ является границей раздела диэ­лектрик-вакуум, на этой поверхности свободных зарядов нет, тогда аналогично описанному выше получим

, и .

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставим значения:

Подставив значения s₁¢ и s₂¢ в (2.2.10), проверим правильность решения – 3×10^–6 4π×0,02² + 0,75×10^–6 4π×0,04² = 0 – задача решена правильно.

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 5. Цилиндрический конденсатор, радиусы обкладок кото­рого R ₁ = 2 см и R ₂ = 2,5 см, заполнен двумя коаксиальными слоя­ми диэлектрика (рис. 2.2.6). Первый слой – пропитанная бумага, ε₁ = 4, второй – стекло, ε₂ = 7. Радиус границы раздела диэ­лектриков R ₀ = 2,3 см. При какой разности потенциалов между обкладками начинается пробой конденсатора? Предельная напряженность для бумаги E _1max= 1,2×10⁴ кВ/м, для стекла E _2max= 1×10⁴ кВ/м.

ДАНО: R ₁ =0,020 м R ₂ = 0,025 м ε₁ = 4 ε₂ = 7 R ₀ = 0,023 м E _1max= 1,2×10⁴ кВ/м E _2max= 1×10⁴ кВ/м

–?

АНАЛИЗ. Поле внутри конденсатора заведомо неоднородно и напряжен­ность убывает с увеличением расстоя­ния от оси системы. Поэтому пробой может начаться в первом слое при r = R ₁ , во втором слое при r = R ₀. Вся система обладает осевой симмет­рией, поэтому для определения сме­щения воспользуемся теоремой Гаусса

Для определения разности потенциалов воспользуемся связью напряженности и потенциала.

Рис. 2.2.6  

РЕШЕНИЕ. Вспомогательную поверхность S выберем в виде коаксиального цилиндра, тогда можно записать:

(2.2.13)

где τ – линейная плотность заряда на внутренней обкладке. При этом вектор нормален к границе раздела и выражение (2.2.13) справедливо в любой точке конденсатора. Учитывая, что , получим

(2.2.14)

где – проекция вектора на направление радиуса (нормали) цилиндра. Значения этих напряженностей зависят от τ(возраста­ют с ростом заряда), а, следовательно, и от разности потенциалов. Но их отношение остается неизменным

E ₁/ E ₂ = ε₂ R ₀ /(ε₁ R ₁). (2.2.15)

Это соотношение позволяет определить, в каком слое начинается пробой. Подставив в (2.2.15) численные значения, получим E ₁ / E ₂ ≈ 2 – при любой разности потенциалов напряженность поля в точке А (r = r ₁,ε = ε₁ ) в два раза больше, чем в точке В (r = r ₀, ε=ε₂). Отношение пробивных значений этих напряженностей:

E _1max / E _2max= 1,2.

Это значит, что, когда в точке А напряженность равна пробивной E _{1 max} = 1,2×10⁴ кВ/м, в точке В напряженность равна Е _{2 max} = 0,6×10⁴ кВ/м, т. е. меньше пробивной. Таким образом, пробой нач­нется в первом диэлектрике – в бумаге. Тогда из (2.2.14) имеем

. (2.2.16)

По теореме Гаусса

E _{1 r} = τ/2πε₁ε₀ r (R ₁ < r < R ₀), отсюда E _{1 r} = τ/2πε₀ε₂ r (R ₀< r < R ₂).

Разность потенциалов между обкладками найдем, пользуясь связью напряженности и потенциала

(2.2.18)

терпит разрыв на границе раздела диэлектриков, т. е. при r = R ₀, поэтому интеграл (2.2.18) следует разбить на два. Под­ставив (2.2.17), имеем

Проведя интегрирование, получаем

Подставив из (2.2.16) в (2.2.19), имеем

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 6. Бесконечная диэлектрическая пластина помещена в перпендикулярное к ней однородное внешнее электрическое поле напряженностью (рис. 2.2.7). Толщина плас­тины a, диэлектрическая проницаемость изменяется линейно от ε₁ на левой границе до ε₂ на правой границе. Вне пласти­ны диэлектрическая проницаемость равна ε = 1. Найти: а) дивергенцию внутри пластины как функцию х; б) поток N вектора через воображаемую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Х, основания цилиндра расположены в точках с х ₁ = – a /2 и х ₂ = а/ 2, площадь каждого основания S; в) объемную плотность связанных зарядовr¢ как функцию х.

ДАНО: ε₁ ε₂ S х ₁ = – a /2 х ₂ = а/ 2.

АНАЛИЗ. Чтобы найти дивергенцию вектора , необходимо установить закон, по которому изменяется напряженность в неоднородном диэлектрике, определив зависимость диэлектрической проницаемости от координаты х: Тогда напряженность будет равна где – напряженность внешнего поля. Поле меняется только в направлении оси Х, поэтому Зная дивергенцию вектора , по теореме Гаусса для поля в диэлектрике находим объемную плотность связанных зарядов . Далее по известной функции находим поток вектора через цилиндрическую поверхность:

Рис. 2.2.7  

РЕШЕНИЕ. Определим напряженность поля в диэлектрике как функцию х. Диэлектрическая проницаемость пластины меняется в направлении х линейно, т. е.

поэтому

. (2.2.20)

Вектор направлен по оси Х, следовательно, и дивергенция

. (2.2.21)

Зная , найдем объемную плотность связанных зарядов r '. Из теоремы Гаусса

,

где r – объемная плотность свободных зарядов, в нашей задаче r = 0, поэтому

Из выражения (2.2.21) получим

Проверим размерность этой формулы: .

Найдем поток вектора через поверхность цилиндра S _Ц (рис. 2.2.8)

(2.2.22)

Интеграл в выражении (2.2.22) разобьем на три интеграла

где S ₁ – левое основание, S ₂ – правое основание, S _бок – боковая поверхность цилиндра.

Вектор не пересекает боковую поверхность, и поток его через эту поверхность равен нулю:

Рис. 2.2.8

Основание S ₁ = S лежит вне диэлектрика в поле напряженностью E ₀, перпендикулярной к поверхности S ₁. Направления и внешней нормали к этой поверхности противоположны, поле однородно, поэтому поток вектора через S ₁ равен

.

Основание S ₂ = S лежит в диэлектрике, вектор напряженности пер­пендикулярен к поверхности S ₂ и сонаправлен с внешней нормалью , его модуль определяется выражением (2.2.20) и зависит только от координаты x, т. е. по всей поверхности S ₂значение E не меняется, поэтому для x = a/ 2 имеем

(2.2.24)

Подставив (2.2.24) и(2.2.23) в (2.2.22) получаем

Правильность формулы по размерности очевидна.

ОТВЕТ:

,

ЗАДАЧА 7. Криптон находится под давлением p = 10 MПа при температуре T = 200 К. Определить диэлектрическую проницаемость ε криптона и его поляризацию Р,если напряженность E ₀ внеш­него электрического поля равна1 МВ/м. Поляризуемость криптона равна a= 4,5×10^–29 м³.

ДАНО: Па T = 200 К В/м k = 1,38×10^–23 Дж/К a= 4,5×10^–29 м³

ε –? Р –?

АНАЛИЗ. Под действием электрического поля молекулы криптона поляризуются. Диэлектрическую проницаемость εможно найти, знаяполяризуемость a молекул и их концентрацию. Последняя может быть найдена из основного уравнения МКТ.

Модуль вектора поляризации найдем как суммарный электрический дипольный момент всех молекул, заключенных в единице объема.

Для определения диэлектрической проницаемости вос­пользуемся соотношением

где n – концентрация атомов криптона.

РЕШЕНИЕ. Выразив , имеем

Концентрация молекул связана с давлением соотношением где k – постоянная Больцмана, тогда

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения,

получаем:

Найдем поляризацию

где – электрический дипольный момент, индуцированный в i -том атоме, N – число атомов в объеме ∆V. В однородном электрическом поле все векторы совпадают по модулю и направ­лению, поэтому геометрическую сумму можно заменить алгебраической:

Принимая во внимание, что , имеем: Однако , поэтому , где – напряженность локального поля. Для неполярных жидкостей

С учетом этого для модуля вектора поляризации имеем

Проверим размерность: .

Подставим значения: мкКл/м².

ОТВЕТ: мкКл/м².

ЗАДАЧА 8. Точечный заряд q = 3×10^–8 Кл находится на рассто­янии см от металлической стенки, соединенной с землей. Найти поверхностную плотность заряда s, индуцированного на стенке, в точке, ближайшей к заряду q; выполнить то же для точки, находящейся на расстоянии r = 5 см от заряда q; опреде­лить общую величину индуцированного на стенке заряда.

ДАНО: q = 3×10^–8 Кл а = 0,03 м r = 0,05 м

АНАЛИЗ. При внесении металлической стенки в электрическое поле точечного заряда на ней появляются индуцированные заряды, и конфигурация ре­зультирующего поля будет иметь вид, изображенный на рис. 2.2.9. Силовые линии исходят радиально от точечного заряда и подхо­дят к стенке обязательно под прямым углом. При этом на стороне, обращенной к заряду q, появятся отрицательные заряды. Проти­воположная сторона стенки соединена с землей, поэтому на ней за­рядов не будет. Такое поле аналогично полю, созданному двумя то­чечными зарядами, равными по величине и противоположными по знаку, находящимися на расстоянии 2 a один от другого. В этом слу­чае средняя плоскость представляет собой плоскость симметрии и является эквипотенциальной поверхностью. Если в любое электричес­кое поле внести незаряженную металлическую поверхность, совпадаю­щую с эквипотенциалью, то во внешнем пространстве поле не изме­нится. Поэтому в любой точке справа от стенки поле, созданное в действительности точечным зарядом q и распределенным по поверх­ности стенки индуцированным зарядом, оказывается таким же, как и поле, созданное двумя разноименными зарядами q, находящимися на расстоянии2 a друг от друга. В этом суть метода зеркальных отображений. В точке, расположенной непосредственно у поверхности стенки на расстоянии r от заряда q, согласно принципу суперпозиции поле определяется по формуле

где и – векторы напряженностей полей, созданных соот­ветственно положительным и отрицательным зарядами.

Зная напряженность , можно найти поверхностную плотность зарядов s, индуцированных на стенке. Проинтегрировав выражение для s,найдем весь заряд Q, индуцированный на стенке.

РЕШЕНИЕ. Вектор напряженности результирующего поля направлен горизон­тально и равен

причем , поэтому

. (2.2.25)

Такое значение поле имеет непосредственно у поверхности стенки. Стенка заряжена с поверхностной плотностьюs, являющейся функ­цией координат. На поверхности стенки вектор меняется скачком от значения E (r), определяемого формулой (2.2.25), до нуля, т. к. в толще стенки и слева от нее электрического поля нет. Величина скачка ∆E определяется формулой

. (2.2.26)

Так как в самом металле поле отсутствует, то ∆E = E (r) и, согласно выражениям (2.2.25) и (2.2.26), тогда

(2.2.27)

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем:

Для расчета полного заряда стенки Q найдем геометрическое место точек, равноудаленных от заряда q. Оно представляет бес­конечно тонкое кольцо радиусом R и толщины с центром, на­ходящимся в точке, лежащей на расстоянии a от заряда q (рис. 2.2.10). Заряд, приходящийся на такое кольцо

Рис. 2.2.10

(2.2.28)

где – площадь кольца. Подставим равенство (2.2.27) в (2.2.28) и проинтегрируем получен­ное выражение по всей стенке:

(2.2.29)

Учтем, что , и подставим в (2.2.29), при этом сле­дует помнить, что индуцированный заряд отрицателен,

Правильность формулы по размерности очевидна, подставив значения, получаем

ОТВЕТ: ;

Дата добавления: 2015-07-19