Классическая электронная теория проводимости (Теория Друде - Лоренца).

Попытаемся теперь описать наблюдаемые в опытах явления, основываясь на модельных представлениях о среде, проводящей электрический ток.

Модель проводника. Закон Ома.

	Модель металла: в объеме, созданном положительными ионами (ионной решеткой), находятся свободные электроны, т.е. электроны, которые относительно слабо связаны с ионами кристаллической решетки и могут свободно перемещаться внутри неё. В отсутствие внешнего электрического поля или других

регулярных сил электроны движутся хаотически, причем все направления их движения равноправны. Средняя кинетическая энергия теплового (неупорядоченного) движения электронов

Оценим среднюю квадратичную скорость хаотического движения электронов при комнатной температуре ():

Включая электрическое поле, мы обеспечиваем появление регулярной силы, действующей на электрон

Движение электрона в действительности очень сложное, т.к. упорядоченное движение накладывается на хаотическое. При этом важную роль играет взаимодействие электронов с решеткой. Полная скорость электрона складывается из скоростей хаотического и упорядоченного движения (скорость дрейфа

Обычно .

Классическая механика описывает это движение уравнением Ньютона:

Здесь – сила, действующая на электрон со стороны ионов при столкновениях с ними. Столкновения между электронами можно не принимать во внимание, т.к. они не влияют на количество движения всей электронной подсистемы.

Рассмотрим слагаемые, входящие в уравнение (1.16).

Усредняя по всем электронам, получим

Если все направления равноправны, и вместо появится средняя сила взаимодействия электронов с ионами решетки, под действием которой электроны теряют энергию, приобретенную в электрическом поле. В отсутствие дрейфового движения обращается в нуль, но при наличии дрейфа это не так.

В то же время нас интересует только упорядоченное движение зарядов – электрический ток, поэтому сложную картину передачи энергии от электрона ионам (влияние ) заменим более простой (приближенной) моделью. А именно: электрон ускоряется под влиянием внешнего поля в течение времени , затем сталкивается с атомом (ионом) решетки и передает ему всю приобретенную в электрическом поле энергию. А затем вновь разгоняется, сталкивается и т.д.

Здесь время релаксации неравновесного распределения электронов (заряда) к тепловому равновесию с кристаллической решеткой, оно характеризует скорость возвращения к этому равновесию. С другой стороны, имеет смысл среднего времени между столкновениями ( также называют средним временем свободного пробега), т.е. времени в течение которого электрон ускоряется электрическим полем:

где - средняя длина свободного пробега, а - средняя скорость беспорядочного движения.

Тогда перемещение, совершаемое электроном под действием внешнего электрического поля от столкновения до столкновения, равно

Средняя скорость дрейфа

Заметим, что скорость упорядоченного движения обратно пропорциональна частоте соударений и будет уменьшаться с ростом температуры.

Плотность тока равна

Вводя обозначение , получаем закон Ома в дифференциальной форме

Проводимость прямо пропорциональна концентрации носителей, квадрату заряда и обратно пропорциональна корню квадратному из температуры.

Для характеристики проводящих сред вводится понятие подвижности, как отношение скорости дрейфа носителя к напряженности электрического поля:

При этом подвижность имеет смысл скорости дрейфа в единичном внешнем электрическом поле.

Получаем связь между подвижностью и проводимостью:

откуда

Опыт дает для подвижности электронов в металлах: ~ () м²/В×с (в системе СИ). Отсюда следует, что скорость дрейфа электронов в металлах значительно меньше средней скорости их теплового движения. Если имеется несколько сортов носителей, то каждый из них характеризуется своим значением подвижности . Проводимость такой среды равна

Закон Джоуля-Ленца.

Опытным путем было установлено, что с прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты. Этот эффект проявляется в нагревании проводника.

В рамках используемой нами модели механизм наблюдаемого явления достаточно прост: носители тока в результате работы сил внешнего электрического поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют её на возбуждение колебаний решетки при столкновении с её узлами-атомами. Наша задача – найти количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в единичном объеме проводника.

Итак, за время электрон набирает максимальную скорость и приобретает кинетическую энергию, равную

,

и полностью передает её решетке при столкновении с атомом, расположенном в её узле.

Частота столкновений каждого электрона проводимости с атомами кристаллической решетки определяется обратным временем свободного пробега: . Если концентрация носителей в проводнике , то полное число соударений электронов с решеткой в единицу времени в единице объема проводника:

Следовательно, в рамках принятой модели выделяемая теплота в единице объема за единицу времени, т.е. объемная плотность тепловой мощности составляет

Т.о., получаем закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Мощность тепла, выделяемого в единице объема проводника, пропорциональна квадрату плотности электрического тока и обратно пропорциональна удельной проводимости.

Примечание: переход к обычной записи закона осуществляется интегрированием полученного выражения по объему провода

,

где поперечное сечение провода, элемент длины и сопротивление рассматриваемого участка провода.

Закон Видемана-Франца.

Классическая теория смогла объяснить еще один результат – связь между электропроводностью и теплопроводностью металлов. Полученный результат парадоксален, поскольку классические о свойствах металлов не должны были обеспечивать согласия с опытом. И хотя классический вывод этого соотношения неверен, сам результат оказался правильным, поэтому мы приведем его.

Металлы – хорошие проводники не только электричества, но и тепла. Согласно принятой нами модели электричество и тепло в металлах переносят одни и те же частицы, т.е. основной механизм теплопроводности должны обеспечивать квазисвободные электроны. При этом роль ионов в переносе тепла пренебрежимо мала. Применяя к электронной теплопроводности формулы кинетической теории газов (см. II семестр), можем записать

,

где коэффициент теплопроводности, - число степеней свободы системы.

или

Здесь - плотность электронного газа, , и длина свободного пробега, - теплоемкость в расчете на один электрон.

Электропроводность, как было получено выше,

.

Тогда получаем отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности проводника равным

,

и, т.к. и , то

.

Эта формула была получена Друде, без учета распределения электронов по скоростям.

Опыт показывает, что для всех металлов отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности действительно имеет одно и то же значение, что и выражает закон Видемана-Франца:

.

Приведенное выражение дает хорошее согласие с опытом. Однако, как уже отмечалось, это согласие является случайным, хотя бы потому, что, получая это соотношение, мы не учитывали максвелловское распределение электронов по скоростям. Лоренц ввел соответствующую поправку и получил численный коэффициент «2» вместо «3», что, однако, только ухудшило согласие с экспериментом.

Т.о., здесь уже начали проявляться трудности классического описания. Квантовая теория Зоммерфельда дала коэффициент , что практически совпадает с «классикой».

Недостатки классической теории.

Классическое описание наглядно и дает правильные зависимости, выражаемые законами Ома, Джоуля-Ленца, Видемана-Франца. Однако оно не приводит к правильным количественным результатам.

Расхождения.

1) Чтобы получить правильные значения электропроводности , необходимо принимать очень большие значения длины свободного пробега электронов, на три порядка превышающие межатомные расстояния что не находит убедительного объяснения в классической физике.

1) Классическая теория предсказывает , эксперимент же дает .

В теплоемкость металлического проводника, согласно «классике», аддитивный вклад вносят электронный газ и решетка , что в сумме дает , и что не находит подтверждения в эксперименте.

Квантовая трактовка.

	Квантовая физика допускает дуализм в поведении микрочастиц, т.е. приписывает им волновые свойства, позволяющие «обтекать» атомы без столкновений, что приводит к увеличению длины свободного пробега электронов.

Распределение электронов по энергиям подчиняется статистике Ферми-Дирака.

В образовании электронной теплоемкости участвует лишь малая часть электронов, имеющих энергии вблизи уровня Ферми, поэтому электронный газ не вносит существенного вклада в теплоемкость. Квантовая физика предсказывает для температурной зависимости теплоемкости , что и наблюдается в эксперименте.

В различных средах – твердых телах, жидкостях, газах, вакууме – реализуется различный механизм проводимости. При сверхнизких температурах (ниже ) в металлах наблюдается явление сверхпроводимости, открытое еще в начале века. Однако в конце 80-х годов была обнаружена сверхпроводимость вплоть до температур , причем на керамических материалах. Подобные явления уже никак не вписываются в картину представлений классической физики, а являются прерогативой физики квантовой.

Дата добавления: 2015-07-16