Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Электрический ток.

Ток и плотность тока. Опытные законы.

Для возникновения и существования электрического тока, - упорядоченного движения зарядов, - необходимо, с одной стороны, наличие свободных носителей то­ка — заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно, а с другой — наличие электрического поля, энергия ко­торого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения поло­жительных зарядов.

Под электрическим током понимают перенос заряда через некоторую поверхность, например, поперечное сечение проводника. Количественно перенос заряда характеризуют силой тока, которую определяют как заряд, проходящий через поверхность в единицу времени:.

.

Единица силы тока в системе СИ – ампер соответствует переносу заряда в один кулон за одну секунду, что эквивалентно 6,2 ^. 10¹⁸ электронов/сек.

Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным, прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на участке проводника, длиной 1 м, силу взаимодействия, равную 2^.10^-7 Н.

В этой главе мы ограничимся рассмотрением тока проводимости в проводящих средах. Отметим, что в металлах и полупроводниках носителями тока являются электроны, в электролитах и ионизованных газах – положительные и отрицательные ионы и электроны.

Предположение о том, что в металлах носителями тока являются свободные, т.е. сравнительно слабо связанные с ионами кристаллической решетки электроны, было проверено экспериментально.

Рике в течение года пропускал электрический ток через поставленные друг на друга медный, алюминиевый и снова медный цилиндры для определения носителей электрического заряда. Если бы в переносе электрического заряда в металлах участвовали ионы, то электрический ток сопровождался бы электролизом и связанным с ним переносом вещества. Общий заряд, прошедший через эту систему составил 3,5 миллиона кулонов, однако никакого проникновения металлов друг в друга обнаружено не было, и вес цилиндров сохранился с точностью до 0,03 мг. Это позволяет утверждать, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества.

Плотность электрического тока.

В отсутствие электрического поля носители тока совершают хаотическое движение, и через любую воображаемую поверхность проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток через поверхность равен нулю. При включении электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью и через поверхность появляется ток. Скорость называют дрейфовой скоростью, или скоростью дрейфа носителей тока.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда все носители тока одинаковы, например, электроны в металлах.

Выделим мысленно в среде, по которой течет ток, произвольный физически бесконечно малый объем. Пусть вектор - скорость дрейфа носителей в рассматриваемом объеме. Обозначим через концентрацию

	носителей тока, т.е. их число в единице объема. Проведем теперь бесконечно малую площадку , перпендикулярную скорости , и построим на ней бесконечно короткий прямой цилиндр высотой .

Частицы, заключенные внутри этого цилиндра, за время пройдут через площадку , перенеся через нее в направлении вектора заряд

,

где - заряд отдельной частицы (в металле – электрона). Тогда через единицу площади поверхности в единицу времени протекает электрический заряд

, или .

Вектор называется плотностью электрического тока. По величине плотность тока есть заряд, переносимый в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную току. Направление вектора совпадает с направлением упорядоченного течения положительного электричества.

Ток в длинном проводнике, например в проволоке, равен, разумеется, интегралу от плотности тока по поперечному сечению проволоки.

Ток есть поток вектора .

Обобщение проведенных рассуждений на случай нескольких типов зарядов, создающих ток, дает

,

где суммирование ведется по всем типам носителей тока.

Вообще, количество переносимого электричества через площадку за единицу времени можно записать в виде

.

Последняя формула остается верной и в том случае, когда площадка не перпендикулярна вектору .

Сторонние силы. Электродвижущая сила. Напряжение.

Для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы сил неэлектростатического происхождения. Такие устройства называ­ются источниками тока. Силы неэлектро­статического происхождения, действую­щие на заряды со стороны источников тока, называются сторонними.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Фи­зическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при пе­ремещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей си­лой (э. д. с.) , действующей в цепи:

,

Напряжением U на участке 1 — 2 на­зывается физическая величина, определя­емая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении еди­ничного положительного заряда на дан­ном участке цепи

,

где - разность потенциалов на концах участка цепи.

Основные законы электрического тока.

Закон Ома для однородного участка цепи.

Создание и поддержание в веществе электрического поля является одним из основных способов возбуждения электрического тока. Как показывает опыт, для многих тел в широких пределах справедливо соотношение

,

или

.

где - разность потенциалов на концах проводника с сопротивлением .

Последнее выражение можно переписать в дифференциальном виде

,

откуда,

.

или

где - удельная проводимость или электропроводность, зависящая от физического состояния тела (температуры, давления и т.д.); величина, обратная электропроводности, называется удельным сопротивлением материала.

Полученное выражение носит название закон Ома в дифференциальной форме.

Закон Ома для неоднородного участка цепи

Мы рассматрели закон Ома для однородного участка цепи, т. е. тако­го, в котором не дей­ствуют сторонние силы. Теперь рассмот­рим неоднородный участок цепи, где дей­ствующую э.д.с. на участке 1 — 2 обозна­чим через , а приложенную на концах участка разность потенциалов — через .

.

Это выражение представ­ляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, кото­рый является обобщенным законом Ома.

2) Закон Джоуля-Ленца.

Энергия, выделяемая при прохождении электрического тока на участке цепи, равна

В дифференциальной форме

Откуда

,

или

Уравнения () и () выражают закон Джоуля-Ленца, соответственно, в интегральной и дифференциальной формах.

Закон сохранения электрического заряда.

Одним из фундаментальных законов электричества является закон сохранения электрического заряда, установленный в результате обобщения опытных фактов. Придадим ему математическое выражение, связав с такими макроскопическими величинами, как плотность заряда и плотность электрического тока . Если вектор плотности тока с течением времени

	повсюду остается постоянным, то говорят, что мы имеем дело с системой стационарных токов. Стационарные токи удовлетворяют закону сохранения заряда. Возьмем в проводящей среде произвольную замкнутую поверхность , ограничивающую некоторый объем . Количество электричества, ежесекундно вытекающее из объема

через поверхность , выражается интегралом . С другой стороны убыль заряда в объеме можно представить в виде , где - заряд, содержащийся в объеме . Приравнивая эти выражения, получаем

.

Минус в правой части уравнения показывает, что происходит уменьшение полного заряда внутри объема . Представив заряд, находящийся в рассматриваемом объеме как

,

и воспользовавшись теоремой Гаусса-Остроградского

,

получаем

.

Поскольку это уравнение записано для произвольного объема, то равенство справедливо также и для подынтегральных выражений:

Это и есть уравнение непрерывности, или уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.

Если токи стационарны, тогда

, то

или

Знак частной производной используется в связи с тем, что , вообще говоря, зависит как от времени, так и от пространственных координат.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома (см. ()) по­зволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие

	участки, каждый из контуров может иметь несколько источни­ков э.д.с. и т. д.), довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа. Любая точка разветвления цепи, в ко­торой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом.При этом ток, входящий в узел, считается положитель­ным, а ток, выходящий из узла,— отрица­тельным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраи­ческая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке про­водника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические за­ряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис.). Направление обхода по часовой стрелке примем за по­ложительное, отметив, что выбор этого на­правления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с на­правлением обхода контура, считаются по­ложительными, не совпадающие с на­правлением обхода — отрицательными.

Источники э.д.с. считаются положительны­ми, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, по­лучим

Это уравнение выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в развет­вленной электрической цепи, алгебраиче­ская сумма произведений сил токов I_i, на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраиче­ской сумме э.д.с. ξ _k, встречающихся в этом контуре:

При расчете сложных цепей постоян­ного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действитель­ное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток полу­чится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицатель­ным — его истинное направление противо­положно выбранному.

2. Выбрать направление обхода кон­тура и строго его придерживаться; про­изведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, счита­ются положительными, против — отрица­тельными.

3. Составить столько уравнений, что­бы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рас­сматриваемой цепи); каждый рассматри­ваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в преды­дущих контурах, иначе получатся уравне­ния, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

Дата добавления: 2015-07-16