В.П.Троицкого 5 страница

Вероятно, Гильберт–Аккерман устраняют здесь принцип структуры и порядка на том основании, что они хотят строить максимально формальную логику. Однако совершенно неправильно, что формальная логика не предполагает никаких логических структур. Если мы определяем понятие как «сооружения, приспособленного для защиты человека от атмосферных явлений», то все указанные здесь признаки понятия («сооружение», «приспособление», «защита», «человек» и т.д.) вовсе не ссыпаны здесь в некой бесформенной куче, но находятся в строго определенном взаимном отношении и порядке, нашедшем себе, в данном случае, выражение в разного рода грамматических формах частей речи, падежей и предлогов. Конечно, традиционная формальная логика каким-то непостижимым образом увиливает от всякого принципа порядка и структуры; и, в конце концов, может быть, даже это и не худо, если для структурной логики отводить специальное место. Но совершенно ясно, что как само понятие порядка или структуры, так и форма его применения в логике – это сложнейшая проблема науки; и не понятно, как можно было бы от нее отмахнуться безапелляционным и немотивированным приведением арифметических законов (хотя сами эти законы совершенно безупречны и, после соответствующего анализа, вполне могли бы занять почетное место в специально указанных для них отделах или типах логики).

Все эти перестановки, размещения и пр<очее> можно, конечно, понять и арифметически. Но в таком случае это чисто бытийные акты, а не логические процессы. Перестановки, подстановки, размещения в разные группы ровно ни о каких логических связях ничего не говорят, если все это не подвергается специальному анализу, а берется в сыром математическом виде. Это как раз прекрасные примеры на то, как вещи и их процессы отнюдь не есть понятия о вещах и отнюдь не есть логические процессы.³³

6. В этом же параграфе содержится и еще одно, не менее поразительное учение. Оказывается, основные типы логической связи, только установленные, вовсе не есть нечто обязательное. Так, «равнозначность», оказывается, можно заменить связями «если... то...» и «и», т.е. можно сказать: «Х равнозначно Y» эквивалентно «если Х, то Y» и «если Y, то Х», т.е. если из Х «вытекает» Y, а из Y «вытекает» Х, и если эти два вывода мы возьмем вместе, то это будет значить, что Х равнозначно Y. Значит, «равнозначность» здесь выражена «выводом» плюс «соединение». Точно так же, рассуждают эти авторы, «равнозначность» и «или» могут быть заменены через «и» и «контрадикторность». Так, высказывание «Х и Y» эквивалентно отрицанию соединения отрицания Х и Y. Другими словами, Гильберт здесь хочет сказать, если есть Х, то нет Y; а если есть Y, то нет Х; но и Х есть и Y есть; значит, остается только – или Х или Y. Несомненно, здесь мы сталкиваемся с вопросом взаимоотношения и взаимосвязи выставленных в начале пяти категорий. Но этот вопрос тоже не ставится здесь в систематической форме, а затрагивается случайно, в то время как ясный и отчетливый анализ был бы необходим именно в самом начале, без чего все это построение оказывается догматическим и висящим в воздухе.

Этим же характером отличается и следующий § 4, который при другом методе изложения, возможно, имел бы значение действительно логического анализа. Это – приведение логических выражений к «нормальной форме», состоящей «из суммы произведений, в которых каждый множитель является или основным высказыванием или отрицанием какого-нибудь такого» (т.е. состоящей только из «и», «или» и «отрицания»). Для логики это – сырой материал, так как здесь отсутствует анализ самих этих категорий «и», «или», «отрицания» и др. и почему будет «нормальнее», если мы исключим «следствие» и «равнозначность», – неизвестно. На основании того наглядного понимания мышления как формы движения, о котором мы говорили выше и которое, по нашему мнению, Гильберт использовал в своей логике, можно было бы, конечно, немало сказать по поводу этой «нормальной формы» высказывания, и о том, почему Гильберт понимает ее именно так, а не иначе (точно так же как и относительно указанных только что эквивалентностях). Но мы очень далеки от мысли давать в этой статье свое собственное построение математической логики.

7. В § 4 ставится мало понятная логическая задача «найти такие соединения высказываний, которые всегда истинны, т.е. независимо от того, дают ли основные высказывания истинные или ложные утверждения». Эта мало понятная задача решается так. Оказывается, существуют следующие «правила» такой «истинности»: 1) «Х или не- Х» всегда истинно; 2) если Х истинно и Y обозначает любое высказывание, то также истинно и «Х или Y»; 3) если Х истинно и Y истинно, то в таком случае истинно и «Х и Y». Истинными (после приведения к «нормальной форме») оказываются все выражения, характеризующиеся тем, что «в каждом произведении появляется в качестве множителя по крайней мере одно из основных высказываний одновременно с его отрицанием». Очень трудно понять, в чем тут дело и какое это имеет значение для логики. Насколько можно догадаться, правила эти, особенно первое, как будто смахивают на принцип исключенного третьего. Однако это только догадка, быть может, совершенно несовместимая с мыслью Гильберта. Быть может, здесь указывается на то, что между утверждаемым и отрицаемым всегда есть нечто общее. Ведь «или» (т.е. «умножение») означает в логистике совпадение или наличие общих части. Всегдашняя истинность высказывания «Х или не- Х» в таком случае означала бы, что между Х и не- Х всегда есть нечто общее, т.е. само же это Х, без его утверждения и без его отрицания. Но таков ли смысл этого учения, поручиться нельзя за отсутствием всяких разъяснений.

Наиболее вероятной расшифровкой этого нам представилось бы следующее. «Х или не- Х» есть отождествление утверждения и отрицания. Где мы находим это тождество утверждения и отрицания? Его мы находим в первую голову в понятии границы. Если мы имеем, напр., круг, то окружность круга, с одной стороны, относится к самому кругу, ибо никакого круга без окружности не существует; но, с другой стороны, эта же самая окружность относится к тому фону, на котором существует данный круг, ибо никакой фон, на котором окружность не выделяет круга, вовсе не содержит этого круга. Ясно, что на границе круга, т.е. на окружности, совершенно совпадает и отождествляется то, что есть круг и то, что не есть круг. Следовательно, отождествление утверждения и отрицания, т.е. высказывание «Х или не- Х» обозначает не что иное, как проведение некоторой четкой границы для Х, как ясное и твердое его оформление на мысленном фоне вообще. В таком случае первый тезис Гильберта в анализируемом параграфе указывал бы на истинность как на твердую определенность, оформленность и четкую отграниченность мысленного предмета, что как будто бы совпадает и с другими нашими наблюдениями о понимании истинности у Гильберта и что указывало бы на вполне наглядный и живой корень логической мысли, используемый здесь Гильбертом, но, как всегда, не формулируемый им в отчетливой форме. Такое понимание этого тезиса Гильберта нам представляется наиболее вероятным, гораздо более вероятным, чем предложенные только что два других понимания; но, конечно, доказать истинность нашего наблюдения никак невозможно ввиду отсутствия каких бы то ни было разъяснений у Гильберта; и оно остается не больше как догадкой и произвольным домыслом.

8. В § 5 формулируется т.н. «принцип двойственности», состоящий в том, что от формул сложения можно перейти к формулам умножения, т.е. от «и» к «или» и обратно, так что, напр<имер>, высказывание «Х или (Y и Z)» равнозначно с высказыванием «Х или Y и Х или Z» (одна из формул дистрибутивного закона). Это интереснее дано в одной из формул § 3, где шла речь о получении «нормальной формы»: отрицание высказывания «Х и Y» все равно, что высказывание «Х или Y», а отрицание высказывания «Х или Y» все равно, что высказывание «Х и Z».

Чтобы понять такое учение Гильберта, мы можем только привлечь те наглядные свойства мышления как формы движения, о которых мы говорили выше. Именно, если логическая связь «и» указывает, как мы там утверждали, на переход от одного определенного элемента к другому, то само собою становится ясным, что отрицание такого перехода от одного к другому есть утверждение перехода от одного к нему же самому, т.е. отождествление одного элемента с самим же собою или отождествление другого элемента тоже с первым. А это и есть логическая связь «Х или Y». Точно так же отрицание этого тождества одного элемента с ним же самим или другого элемента с первым есть разъединение обоих элементов, разрыв их тождества и переход от одного элемента к другому элементу, который уже ни в чем не тождествен с первым. А это и есть логическая связь «Х и Y». Такой простейший смысл можно было бы вложить в это учение о взаимном отрицании «и» и «или».

Однако сказать так – это значит насильственно раскрыть секрет логистики в данном случае, ибо и Гильберт, и прочие логистики весьма старательно запрятывают эту материально-содержательную наглядность, давшую им право на «принцип двойственности». Выразивши эту наглядность формулой какого-нибудь дистрибутивного закона, логистики скрыли от нас самое главное и свели жизненную наглядность на пустое арифметическое упражнение, т.е. тем самым поставили нас перед каким-то максимально формализованным, но в то же время совершенно сырым для логики материалом. Наглядность и везде, и в данном случае дает нечто бесконечно более богатое, чем эта «алгебра логики»; и усвоивши однажды, что речь идет тут о замене перехода от одного элемента к другому отождествлением этих элементов, мы сразу натыкаемся на огромную философскую и логическую проблему, чрезвычайно важную и теоретически, и жизненно. И решение этой проблемы при помощи дистрибутивных законов есть только одно из многих возможных решений; оно не единственное даже и математически, не только логически. Безапелляционное решение ее в смысле арифметической дистрибутивности есть смешная догматическая метафизика. Против этого нельзя возражать так, что арифметика-де тоже имеет право на существование. Ведь разбираемые авторы пишут сводный труд под названием «Основные черты теоретической логики».³⁴ Самое это название каждым из четырех слов, в него входящих, кричит о цельном изображении логического мышления. И против арифметики нечего возразить, если она берется в контексте всей логики вообще. Но она есть недопустимое зло, если она себя абсолютизирует и делает невозможными все другие логические методы.

9. В § 6 рассматривается «дизъюнктивная нормальная форма логических выражений» в противоположность первой нормальной форме, рассмотренной в § 3 и теперь получающей название конъюнктивной. Разница между обеими формами заключается в том, что конъюнктивная нормальная форма состоит из суммы произведений, образуемой отрицанием или неотрицанием основного высказывания, а дизъюнктивная форма состоит из произведения сумм, образующихся слагаемыми в виде отрицаемого или неотрицаемого основного высказывания. Так, напр<имер>, высказывание «Х равнозначно Y» можно выразить в такой дизъюнктивной нормальной форме: «Х и Y» или «не- Х и не- Y»; и это значит, что Х и Y должны или выступать оба вместе, или оба вместе не выступать, если только равносильно высказывание, что Х равносильно Y. В первой нормальной форме мы преобразовывали высказывание так, чтобы получить из него соединение ряда совпадающих высказываний, здесь же – совпадение ряда соединений. Таким образом, это только новая комбинация при помощи все тех же самых «и» и «или». По-видимому, пристрастие к этим процессам разделения и совпадения, или соединения и разъединения вытекает из арифметизма самой этой логической системы. Логистики хотят свести все логические процессы на разъединение и совпадение элементов. Если это так, то попытку эту заранее надо считать совершенно недостаточной для логистики. Соединение и разъединение, взятые как таковые, суть процессы не специально мышления, но бытия. И поскольку логика есть наука не прямо о бытии, но об отражении бытия в мышлении, постольку соединение и разделение ничего еще не говорят сами по себе о логических процессах. Получается любопытный курьез: логистика как раз не хотела говорить о бытии, но хотела остаться только в пределах операций с «высказываниями», «классами» и «функциями»; но тем самым, что она отказалась от анализа понятий, суждений и умозаключений как таковых и свела все к арифметике и алгебре, она этим самым именно онтологизировала сама себя, так как число гораздо ближе именно к бытию, чем к понятию, и соединение, и разделение, к которым логистики хотят свести мышление, есть именно бытийные, а не специально мыслительные процессы. Впрочем, даже если согласиться понимать соединение и разъединение как принципы логические, а не просто бытийные, то, все равно этими принципами невозможно исчерпать картину мышления как формы живого движения. Эти принципы давали бы все же весьма механистическую картину; и то, напр<имер>, что мышление есть развитие, совершенно не затрагивалось бы такими принципами.

10. В этой работе нет возможности проследить шаг за шагом все построение Гильберта–Аккермана. Это было бы равносильно написанию новых «Основных черт теоретической логики» и при том гораздо больше по объему. Однако уже и приведенного материала более чем достаточно для иллюстрации данной нами выше характеристики математической логики, и особенно для ее догматизма, дающего возможность выставлять ответственнейшие тезисы без всякого доказательства, а также и для понимания отсутствия в ней логического анализа вводимых ею категорий и замены этого логического анализа арифметическими связями, выделяющими только одну сторону мышления и при том далеко не самую существенную.

Можно ли, напр<имер>, более догматично изложить «аксиомы исчисления высказываний», чем они изложены в § 10 анализируемой книги? Без всяких доказательств, без всяких пояснений, даже без вразумительной – не логической, а хотя бы только словесной – формулировки введены здесь следующие четыре аксиомы, которые мы передадим простыми словами (а не специально вводимыми знаками).

1) Высказывание Х истинно тогда, когда истинно высказывание «Х или Х». Поскольку мы уже знаем, что высказывание «Х или Y» истинно тогда, когда истинно, по крайней мере, одно из этих двух высказываний, и поскольку сейчас мы говорим не об «Х или Y», но об «Х или Х», то совершенно ясно, что высказывание Х оказывается истинным в случае истинности высказывания «Х или Х». Но простое словесное переиначивание давно установленного тезиса, может быть, и имеет большое математическое значение, но логика нуждается в осмысленном раскрытии самого этого тезиса.

Отсюда возникает вопрос, почему же нужно считать истинным Х, если истинно «Х или Х»? Высказывание «Х или Х», как мы знаем, есть просто отождествление Х -а с самим собой. Но тождество Х с самим собою есть не что иное, как его определенность и оформленность, потому что Х, о котором еще неизвестно, что он есть именно Х, предстает перед нами в виде чего-то неузнанного, неопределенного и бесформенного; и когда мы в этом Х узнали именно его самого, мы его четко отделили от всего прочего и дали ему определенное место в своем мышлении. В таком случае под «истинностью» Х у Гильберта пришлось бы понимать просто определенность этого Х в мышлении, т.е. соответствие этого высказывания Х не какому-нибудь объективному бытию, но ему же самому, как оно есть в мысли. По крайней мере, на стр. 41 Гильберт противопоставляет свою логику Аристотелевской в том смысле, что последняя видит истинность в соответствии с реальным предметом. В чем истинность по его собственному учению, он тут не говорит, а указывает только отрицательно, что математическая истинность иная. Так не заключается ли она в том, что понятие здесь соответствует не бытию, но самому себе, и не об этом ли говорит первая Гильбертовская аксиома? Может быть, да; может быть, нет. Если – да, то логика Гильберта в своем формализме настолько же далеко идет вперед в сравнении с кантианством, насколько кантианство формалистичнее всякого реализма и материализма. Тут даже априорные формы человеческого субъекта оказываются слишком бытийственными и материальными; и под «истинностью» тут понимается нечто настолько широкое, что истинной является решительно всякая мысль, лишь бы она была определенной и соответствовала сама себе. Это даже не формализм, а просто фикционализм.

Остальные три «аксиомы исчисления высказываний» мы обсуждать не будем, поскольку возможные здесь наши догадки ясно вытекают из только что сказанного, и ограничимся только их приведением.

2) Если Х истинно, а Y – какое-нибудь другое высказывание, то истинно также и высказывание «Х или Y».

3) Произведение истинных высказываний (т.е. соединение их через «или») коммутативно.

4) Высказывание «если Х, то Y» останется тоже истинным, если мы и Х и Y «помножим» на какое-нибудь Z (т.е. присоединим его при помощи «или»).

Почему взяты эти аксиомы, а не другие? Почему их четыре, а не пять и не шесть? Как они между собою связаны? Какую логическую категорию выражает каждая из этих аксиом? Что значит это «или» в смысле логической связи? Напрасно искать ответа на эти вопросы в труде Гильберта–Аккермана. Как-де хотите, так и думайте. Разве можно себе представить больший и худший догматизм и большее пренебрежение логикой как специальной наукой о мышлении?

В довершение всего в том же параграфе еще мы находим учение о том, как делать выводы из этих аксиом. Оказывается, правил этих всего два – правило подстановки и схема заключения. Первое правило гласит, что любое высказывание мы можем заменить без ущерба для дела, при условии только, что эта подстановка будет произведена везде, где только выступает данное высказывание. Но уже было сказано, что подстановка – процесс бытийный или внешне-словесный, но никак не логический. Святою простотой веет и от «схемы заключения», гласящей, что из двух формул «А» и «если А, то В» мы получаем новую формулу «В». Перед этой мудростью можно только развести руками. Мы-то, несчастные, бьемся в логике над тем, что такое это «получаем», и каковы функции, основания и типы этого «получения». Тут же все решено сразу, на двух или трех строках!

Не собираясь посвящать наши заметки специально Гильберту, мы можем на этом и остановиться. Но мы на материалах Гильберта–Аккермана, кажется, тоже доказали, что логистика не есть логика, а только очень сырой материал для логики. Возможно, что тут залегает даже очень большая мудрость и глубина, как ее много и в самой математике. Однако, вскрыть эту мудрость и глубину – это значит произвести огромную логическую работу. У Гильберта она отсутствует.

Все же, в заключение, на одно несомненно сильное место логистики мы укажем, имея, впрочем, в виду не столько математическую логику, сколько логическую математику.

§ 5. Сильное место логистики

Разумеется, зачеркивать целиком эту методологию не приходится. Не говоря уже о значении ее для математики (об этом пусть судят математики), и для логики эта – теперь уже почти вековая – работа логистиков отнюдь не прошла даром. Надо только уметь нащупать ее сильное место.

1. Это сильное место не есть ее внешняя сторона, как это раньше выдвигали многие. То, что ясный язык заменяется в логистике громоздким аппаратом сложных обозначений, это – только ее более или менее удобная техническая сторона, а не ее принципиальное завоевание. Уже в самой-то математике кое-где слишком заметно традиционное злоупотребление буквенной символикой, которую математики нагромождают где надо и где не надо и без которой часто можно было бы вполне обойтись, заменивши ее ясным человеческим словом. В логистике же это совсем доходит до уродства. Особенно в этом отношении старались прежние логистики, выдумывавшие такие вычурные обозначения и такие каракули, что печатать их можно было только в специальных типографиях, специально заказывая небывалый шрифт. Это, конечно, пустяки; и хорошо, что нынешняя логистика, кажется, отходит от этого. Научности от этих каракулей не прибавляется; трудность их чтения несравненно б о льшая, чем трудность чтения обыкновенного словесного текста; сближение же логики и математики не может получиться от столь внешних и поверхностных, от столь наивных методов. Итак, сила логистики не в этом.

Сильная сторона логистики, далее, заключается и не в том, что математика здесь трактуется в качестве ветви логики. Это не сильная, а слабая сторона логистики, ибо математика ни с какой стороны не является ветвью логики. Это две совершенно разные, совершенно не зависящие одна от другой, совершенно самостоятельные дисциплины. Можно и нужно переводить их одна на другую.³⁵ Но этот перевод как раз и показывает, что тут мы имеем дело с совершенно разными дисциплинами, и ни одна из них не является ветвью другой. Логистика тут ровно ничего не доказала. Если приступать к построению логики и тут же с первых слов трактовать о переместительном или распределительном законе, то не удивительно, что математика оказывается частью такой логики. Но такая логика как раз не есть то, что обычно называется логикой как специальной дисциплиной. Это или совмещение логики с математикой или почти стопроцентная математика, а не логика как самостоятельная дисциплина.

Наконец, сильное место логистики также не заключается в том, что она решает задачу логического осознания материала математики. Имея такое узкое понимание логики и не употребляя всего того категориального аппарата, который находится в распоряжении логики, логистики едва ли в состоянии дать полное осознание математического предмета и дать подобающее ему логическое обоснование. Что же касается логически последовательного изложения самой математики (каковое мы находим в современной аксиоматике), то это едва ли относится к самой логике. Скорее это есть просто сама же математика, но изложенная не как попало, но с соблюдением точных исходных пунктов и с точным учетом всего того, что данный исходный пункт определяет собою в конкретном материале математики. Логическая последовательность той или иной науки еще не превращает эту науку в логику, ибо всякая наука должна быть логически последовательной, но никакая отдельная наука от одного этого еще не делается логикой. То, что мы согласились бы называть логикой, должно охватывать не одну какую-нибудь науку, но все науки вообще, и даже не только все науки, но и всякое до-научное и вне-научное мышление. Не существует никакой чистой логики вне этой общечеловеческой научной и вне-научной практики. Но никакая отдельная область человеческой практики не может исключать все другие; и если логика хочет пользоваться только одними математическими методами, то это нисколько не есть ее достижение, но ее провал, хотя пользоваться математическими методами наряду со всеми другими она и может, и должна.

2. Чтобы формулировать подлинно сильное место логистического метода, надо вспомнить то, что мы выше говорили о логистической теории натурального ряда чисел. Мы констатировали, что логистика здесь не то, чтобы ошибалась в буквальном смысле слова. За вычетом всех невязок, в постулатах Пеано мы все же находим некоторое определение натурального ряда. А именно, он определен здесь как прогрессия. Правда, это определение недостаточно. Уже школьные учебники логики скажут, что это определение «несоразмерно», т.е. в данном случае слишком широкое. В абсолютном смысле это не ошибка, а только недостаточность. И вот если вообще не гоняться за логической квалификацией математического предмета во всей его полноте, а ограничиться только его абстрактной структурой, только его скелетом, то такая теория натурального ряда чисел, как у Пеано, получает весьма заметное значение, и тут, несомненно, сильная сторона логистики. Дать что-либо большее, чем скелет числовых предметов, она не может в силу своих исходных позиций, которые впервые и делают ее логистикой. Раз она исключает интуицию, то, конечно, остается только скелет предмета. Не будем здесь чересчур требовательны: для фиксации скелета тоже нужна некая вполне определенная наглядность этого скелета. Но согласимся, что скелет есть только система связей, лишенная всякого наглядного элемента. При допущении такой условности можно предоставить логистике то поле исследования, на которое она претендует, и – уже не ждать, что математический предмет будет исследован ею полностью. Он не исследуется ею полностью, но зато она осознает в нем некоторого рода стержень, некий логический скелет, на котором держится конкретный организм математического предмета. И если этот скелет строится тут правильно, то и за него можно быть благодарным логистическому методу.

3. К этому надо прибавить еще другое обстоятельство. Исходя из математики и пользуясь по преимуществу математическими методами, логистика вытаскивает на свет такие понятия и методы, которые давным-давно практикуются в математике, но которых нет или почти нет в логике. Ведь логика страшно отстала и от науки вообще и от математики в частности. То, что стало уже давно достоянием даже школьной математики, даже трафаретных предметов математического преподавания, вычисления и технического применения, то самое в логике все еще никак не дифференцируется от метафизики, от мистической философии и с великим трудом усваивается как именно логическое.

Так, для многих логиков все еще находятся под запретом такие категории, как «бесконечность», «непрерывность» и пр<очее>. Точно так же с большим трудом усваивается такая категория, как «отношение», и «логика отношений» все еще никак не может найти себе достаточного места в системе логики. А «логика отношений» как раз взлелеяна логистикой, и за постоянное выдвигание «логики отношений» как корректива к объемной логике, конечно, нужно быть благодарным логистической литературе.

Или возьмем такое, напр<имер>, понятие, как понятие структуры. Не приходится скрывать того, что оно многими очень плохо усваивается в логике и что многие все еще видят в нем отголоски старой метафизики, старого идеализма и т.д. Этот досаднейший предрассудок или попросту неосведомленность прекрасно корректируется математическим учением, напр., о порядке и упорядочивании, которое использовано математикой и часто даже выдвигается ею на одно из первых мест. Тип, напр<имер>, это то, в чем тождественны два подобных между собою упорядоченных множества. Но тогда это есть наглядная структура множества, которую, если перенести в логику, то мы и получаем наглядную структуру понятия и вместе с тем весьма оригинальный и вполне специфический тип построения всей логики. Логистика в этом отношении является весьма поучительной, ибо математический предмет в этом случае оказывается настолько ярким, что даже обескровленная логистика не в силах его затушевать и что даже она, пытаясь занять некое место в логике, волей-неволей вносит в нее эти весьма плодотворные и точнейшие понятия, недоступные многим системам логики вследствие их отсталости от современного развития наук.

Точно так же весьма плодотворным являлось бы использование в логике теории функций, потому что вместо того бесформенного киселя, который традиционная логика находит в понятиях, суждениях и умозаключениях, мы получили бы здесь четкие функциональные отношения, которые сразу же превратили бы логику в чрезвычайно живую и жизненную дисциплину. Но о понятии логической функции, – хорошо ли, плохо ли, другой вопрос, – впервые заговорили опять-таки никто иной, как логистики. Это большой завоевание мысли.

4. Наконец, чрезвычайно сильным местом логистики является ее обобщительная тенденция, которая у нас выше критиковалась не столько по ее существу, сколько в силу ее обычных догматически-метафизических интерпретаций и в силу вытекающих отсюда уродливых формулировок. Повторяем еще и еще раз, что научное обобщение, взятое само по себе, чем оно шире и глубже, тем оно конкретнее и ближе к охватываемой ею действительности. В тех случаях, где подобного рода обобщения попадаются в логистике, они прекрасны. Однако зачастую они настолько тщательно изолируются здесь от всякой наглядности, от всякой предметности, от всякой материальности, и они зачастую формулируются в связи с этим настолько безапелляционно, настолько декретивно, настолько догматично, что при всем желании бесконечно обобщать на них никак нельзя заставить себя соглашаться. В конце концов та широчайшая по своим обобщениям логика, которую мы нашли у Гильберта, может быть не только нами приветствуема, но может считаться и огромным достижением в науке. И тем не менее всю работу Гильберта надо переделать с начала до конца.

Мы готовы согласиться, что традиционные элементы логического мышления, т.е. понятие, суждение и умозаключение, все еще недостаточно общи. Мы готовы согласиться даже и на то, что логическое мышление, взятое в наиобщей форме, выражается не в этих элементах, но в некоторого рода «высказываниях», которые не суть ни понятия, ни суждения, ни умозаключения, но нечто гораздо более простое и элементарное, гораздо более общее и эластичное, гораздо более тонкое. Однако, скажите же, пожалуйста, что это такое за мышление в «высказываниях» и чем оно отличается от мышления в понятиях, суждениях и умозаключениях? У Гильберта об этом ни полслова; и получается, что такое большое обобщение, такое широкое и такое желательное, повисает в воздухе; и неизвестно, что с ним делать в логике. То же самое надо сказать и о Гильбертовском «если..., то...». Это есть у него, конечно, очень большое расширение традиционного учения о выводе, настолько большое, что при помощи этой «логической связи» мы можем переходить от ложного высказывания к истинному и от ложного к ложному, и оба таких перехода считать истинными. Это, конечно, есть огромное расширение и обобщение самого принципа вывода, и, как таковое, оно может только приветствоваться. Однако лишенная всяких расчленений, лишенная всяких связей с миром наглядной предметности, формулированная абсолютно декретивно и догматически, такая теория подсекает сама себя и граничит с бессмыслицей.

---

Дата добавления: 2015-07-16