с пояснениями

ДЕ №1 ВВЕДЕНИЕ В КУРС

1. Основные понятия, введения допущения и принципы

2. Модели прочностной надежности

3. Внутренние силы и напряжения.

4. Перемещение и деформация.

ДЕ №2 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

5. Продольная сила. Напряжения и деформации

6. Испытание конструкционных материалов на растяжение и сжатие.

7. Механические свойства материалов

8. Расчеты стержней на прочность и жесткость

ДЕ №3 СДВИГ. КРУЧЕНИЕ

9. Чистый сдвиг. Расчет на сдвиг (срез)

10. Крутящий момент. Деформации и напряжения

11. Расчет на прочность при кручении.

12. Расчет на жесткость при кручении

ДЕ №4 НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

13. Виды напряженного состояния

14. Оценка прочности материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности

15. Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

ДЕ №5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ

16. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

17. Осевые момента инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

18. Главные оси и главные моменты инерции

19. Моменты инерции простых и сложных сечений

ДЕ №6 ПЛОСКИЙ ПРЯМОЙ ИЗГИБ

20. Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры

21. Напряжения в поперечном сечении стержня при плоском изгибе

22. Расчет балок на прочность

23. Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость

ДЕ №9 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ

24. Виды нагружения стержней

25. Пространственный косой изгиб

26. Изгиб с растяжением-сжатием

27. Изгиб с кручением

ТЕОРИЯ К ДЕ

ДЕ №1

1. Основные понятия, введения допущения и принципы

Свойство материала тела восстанавливать свои первоначальные размеры после снятия внешних сил называется

упругостью

В соответствии с принципом независимости действия сил (принцип суперпозиции)

результат действия системы сил равен сумме результатов действий каждой силы в отдельности

Сопротивление материалов – это наука о методах расчета элементов инженерных конструкций на…

прочность, жесткость и устойчивость

Механическое свойство, характеризующее способность материала сопротивляться его разрушениюподдействием внешних сил, называется…

прочность

Утверждение, что напряжения и перемещения в сечениях, удаленных от места приложения внешних сил, не зависят от способа приложения нагрузки, называется…

принципом Сен-Венана

Способность конструкции, элементов конструкции сопротивляться внешним нагрузкам в отношении изменения формы и размеров называется…

жесткостью

1. Модели прочностной надежности

Если не учитывается конкретная структура материала (зернистая, кристаллическая и др.), и считается, что материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции, то материал обладает свойством

сплошности

Материал, у которого механические свойства во всех направлениях одинаковы, называется

изотропным

Тело, длина которого l существенно превышает характерные размеры поперечного сечения (ширины и высоты) b и h, называется

стержнем (брусом)

Величины, служащие мерой механического действия одного материального тела на другое, называются

внешними силами (нагрузками)

Внешние силы, действующие на элемент конструкции, подразделяют на

сосредоточенные, распределенные и объемные силы

Объект, освобожденный от особенностей, несущественных при решении данной задачи, называется

расчетной схемой

В сопротивлении материалов относительно структуры и свойств материала принимаются гипотезы

сплошности, однородности, изотропности и идеальной упругости материала

Положение, согласно которому материал полностью заполняет весь объем тела, называется …

гипотезой сплошности

Разделение тела на части под действием внешних нагрузок называется…

разрушением

1. Внутренние силы и напряжения.

Вектор полного напряжения на данной площадке р раскладывают на составляющие (на нормаль к площадке и на плоскость этой площадки). Эти составляющие называют

нормальными (σ) и касательными () напряжениями

Приращение сил взаимодействия между частицами (частями) тела, возникающих при его нагружении, называется

напряжениями

Составляющие главного вектора R и главного момента М внутренних сил по координатным осям X, Y, Z называют

внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями в сечении стержня

Проекция главного вектора R внутренних сил на ось (Х или У), лежащую в плоскости сечения, называется

поперечной силой Qx (или Qy)

Суммарный момент относительно оси стержня всех внутренних сил, действующих в поперечном сечении, называется

крутящим моментом

Силы взаимодействия между частями рассматриваемого тела называются

внутренними

Для определения внутренних силовых факторов, действующих в сечении тела, используется

метод сечений

Векторная величина, которая характеризует интенсивность распределения внутренних сил по сечению тела, называется

полным напряжением в точке

В системе СИ напряжение измеряется в

Н, кН, МН

1. Перемещение и деформация

Под действием системы внешних сил точки тела меняют положение в пространстве. Полное перемещение точки тела А в общем случае …

можно разложить на три составляющие по направлениям координатных осей

Угловым перемещением сечения (см. рис.) является величина

φ его поворота относительно одной из поперечных осей

Количественная мера изменения геометрических размеров в окрестности точки называется

линейной деформацией

В результате действия внешних сил на деформируемое тело точка К заняла новое положение К₁. Вектор КК₁ называется

полным перемещением

Упрощение, на основании которого при составлении уравнений равновесия тело, после нагружения внешними силами рассматривают как недеформированное, называется…

принципом начальных размеров

Первоначальная длина стержня равна l. После приложения растягивающей силы длина стержня стала l₁. Величина Δl = l₁ – l называется

абсолютным удлинением

Отношение абсолютного удлинения Δl (укорочения) стержня к первоначальной длине l называется

деформацией стержня

Отношение абсолютного сдвига ΔS к расстоянию между сдвигающимися плоскостями a называется…

относительным сдвигом

При линейном напряженном состоянии Закон Гука выражается зависимостью

σ=Е·ε

Деформации (линейные ε и угловые γ) считаются практически

малыми, если они не превосходят…

0,05 (или 5%) или 0,002 (или 0,2%) (не очевидно!!!)

ДЕ №2

1. Продольная сила. Напряжения и деформации

Продольная сила N на участке равна сумме сил слева (или справа) от участка. Удобно рассчитывать N от свободного конца, чтобы не вычислять реакцию опоры.

Абсолютное удлинение ΔL стержня с длиной L и площадью сечения А равно

ΔL = N·L/(E·A). Часто встречается круглое сечение A=π·d²/4.

Продольная деформация ε на участке равна ε= N·/(E·A).

Знак деформации или удлинения (растягивающая или сжимающая) зависят от знака продольной силы.

Из гипотезы плоских сечений следует, что вдали от мест нагружения, резкого изменения формы и размеров поперечного сечения нормальные напряжения σ при растяжении − сжатии прямолинейных стержней распределяются по площади поперечного сечения равномерно и равны σ=N/A.

Распределение напряжений по длине стержня, как и N, зависит от приложенных сил.

1. Испытание конструкционных материалов на растяжение и сжатие.

Материал является хрупким, если образец из него разрушается при очень малых остаточных деформациях. (от 0,1 до 5%). Вид разрушенн0го образца (чугун) после испытания представлен на рисунке.

Стальной образец, предназначенный для испытания на растяжение при статическом нагружении, имеет вид

Вид образца после разрушения представлен на рисунке (образуется шейка).

Диаграммой растяжения образца является диаграмма

После испытаний образца длиной L₀ на растяжение относительное остаточное удлинение при разрыве δ в процентах составляет δ=100·(L-L₀ )/ L₀, где L- длина расчетной (без шейки) части после разрыва.

Относительное остаточное сужение после разрыва в процентах определяется как отношение площади шейки при разрыве к начальной площади сечения образца, умноженное на 100.

Чем меньше δ и , тем более хрупкий материал.

Чугун и сталь–материалы изотропные. Примером анизотропного материала являетсядревесина

1. Механические свойства материалов

На диаграмме растяжения участок ВС соответствует напряжению – предел текучести (),

точка D – пределу прочности - (), точка А – пределу пропорциональности.

Максимальная сила разрыва , которую может выдержать образец, .

До предела пропорциональности модуль упругости постоянный и равен .

Допускаемое напряжение [s] для материала будет равно , где - нормативный коэффициент запаса.

Конструкционные материалы делятся на хрупкие и пластичные в зависимости от величины относительного остаточного удлинения при разрыве.

Коэффициентом Пуассона называется отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации, взятое по абсолютной величине.

Наклеп (нагартовка) – повышение упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования.

Модуль сдвига - коэффициент пропорциональности между касательным напряжением () и угловой деформацией (), . Может быть определен при кручении круглого образца длиной L между крайними сечениями А и В и с моментом инерции сечения по формуле по известному углу поворота сечений .

Модуль сдвига связан с модулем упругости и коэффициентом Пуассона зависимостью .

1. Расчеты стержней на прочность и жесткость

Допускаемая нагрузка при растяжении или сжатии равна произведению допускаемого напряжения на площадь сечения.

Расчет на жесткость обычно , где F растягивающее (сжимающее) усилие, - допускаемое удлинение.

В задачах на фермы усилия в стержнях определяются их условия равновесия узлов.

Во многих задачах тестов усилие в стержнях находят из уравнения равновесия моментов относительно шарнирной опоры.

В стержнях из хрупких материалов необходимо отдельно определять допускаемые напряжения на растяжение и сжатие (бетон, чугун) и условие прочности .

ДЕ №3

1. Чистый сдвиг. Расчет на сдвиг (срез)

Чистым сдвигом называют напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения.

Правило, согласно которому на взаимно перпендикулярных площадках элемента, выделенного из тела, касательные напряжения равны по величине и направлены к общему ребру (или от него), называю законом парности касательных напряжений

Закон Гука при сдвиге выражается зависимостью и действует на начальном участке диаграммы , аналогичной диаграмме растяжения.

Угловая деформация или угол сдвига - уменьшение (изменение) начально прямого угла в радианах.

В практических расчетах вводится допустимое касательное напряжение среза (или ) и условие прочности при срезе силой F - .

1. Крутящий момент. Деформации и напряжения

Деформацию стержня, при которой в поперечных сечениях возникает только крутящий момент, называют кручением.

При кручении длина стержня не меняется (приближенно).

При деформации кручение угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними, называется относительным углом закручивания , который связан с крутящим моментом , модулем сдвига и полярным моментом инерции зависимостью . При этом диагональ в направлении крутящего момента прямоугольника на поверхности цилиндра – увеличивается.

Угол закручивания стержня длиной L круглого поперечного сечения определяется по формуле .

Касательные напряжения при кручении стержня круглого поперечного сечения на радиусе вычисляются по формуле и меняются по линейному закону в пределах материала сечения.

Максимальные касательные напряжения в стержне диаметром d вычисляются по формуле , где момент сопротивления при кручении , и действуют во всех точках наружной поверхности.

Крутящий момент в сечении определяется как сумма внешних моментов справа или слева от сечения. Проще считать от свободного конца, не вычисляя реактивный момент в опоре.

1. Расчет на прочность при кручении

Условие прочности при кручении , для круга ,

для кольца .

Напряженное состояние при кручении – чистый сдвиг.

Для круга из условия прочности при кручении .

Для пластичного материала - отношение предела текучести при сдвиге к запасу прочности.

При проектном расчете должны быть известны максимальный крутящий момент и допускаемое напряжение – нужно определить диаметр.

При проверочном расчете должны быть известны максимальный крутящий момент, допускаемое напряжение и диаметр – нужно проверить условие прочности.

12. Расчет на жесткость при кручении

Жесткостью поперечного сечения круглого стержня при кручении называется выражение .

Условие жесткости при кручении стержня круглого поперечного сечения, с неизменным по длине диаметром имеет вид или . Наименьший допускаемый диаметр .

Если задан допустимый угол взаимного поворота двух сечений на расстоянии L , то условие жесткости .

ДЕ №4
13. Виды напряженного состояния

Напряженное состояние называется линейным, если на двух взаимно перпендикулярных площадках отсутствуют напряжения. Типичные примеры: растяжение стержня, опасная точка (точка на поверхности) при изгибе стержня, одна площадка не нагружена, а на остальных равны произведение нормальных напряжений и квадрат касательного.

Напряженное состояние называется плоским, если на одной площадке отсутствуют напряжения.

Типичные примеры: стержень.

Напряженное состояние – чистый сдвиг - плоское напряженное состояние, при котором на нагруженных площадках нормальные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку, а касательные отсутствуют. Типичный пример: кручение стержня.

Общий подход: вычисляем инварианты напряженного состояния , , .

Тогда: линейное напряженное состояние - ,

плоское напряженное состояние - ,

Чистый сдвиг -

Вопрос «указать вид напряженного состояния» в конкретном случае нагружения стержня решается указанием напряжений, соответствующих растяжению, изгибу или кручению с учетом закона парности напряжений.

1. Оценка прочности материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности

В точке всегда существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения (см. п. 16) – главные площадки. Нормальные напряжения на этих площадках – главные напряжения .

Состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала, переход от одного механического состояния к другому, называется предельным напряженным состоянием

Напряжение, которое следует создать в растянутом стержне, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряженным состоянием, называют эквивалентным напряжением.

Условия прочности в точке: эквивалентное напряжение .

Эквивалентное напряжение вычисляется по одной из теорий (гипотез) прочности.

· Согласно теории наибольших касательных напряжений (третья теория прочности),

.

· Согласно теории наибольших относительных линейных деформаций (вторая теория прочности),

; = коэффициентом Пуассона.

· Согласно теории потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности)

· Согласно теории Мора (пятая теория прочности) применяется для материалов с разной прочностью на растяжение и сжатие.

,

где для пластичных материалов, и для хрупких материалов.

При сравнении различных напряженных состояние наиболее опасным считается такое, при котором эквивалентное напряжение по выбранной теории прочности максимально.

Число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным, называется коэффициентом запаса для данного напряженного состояния.

Два напряженных состояния называются равно опасными, если они имеют одинаковые коэффициенты запаса.

1. Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

Совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку тела, называют деформированным состоянием в точке.

Компоненты тензора деформаций в произвольных осях , представленные в виде функций координат , определяют деформированное состояние в точке.

Три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации, называют главными осями деформированного состояния.

Зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояния в пределах малых упругих деформаций носит название обобщенного закона Гука

Главные (линейные) деформации связаны с главными напряжениями зависимостями:

; ; .

Относительное изменение объема равно

.

Удельная потенциальная энергия деформации изменения формы определяется выражением

.

1. Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения

Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют напряженным состоянием в точке.

Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на которых касательные напряжения равны нулю, называют главными площадками.

В растянутом стержне главные площадки совпадают с поперечным и продольными сечениями.

Значения главных напряжений определяют из решения кубического уравнения . Инварианты напряженного состояния определены в п. 13.

При чистом сдвиге (кручении) главные напряжения равны .

Тензор напряжений – этосовокупность нормальных и касательных компонентов напряжений на трех взаимно-перпендикулярных элементарных плоскостях, проходящих через точку тела.

Максимальные касательные напряжения в точке действуют в плоскости главных напряжений и в площадке, равно наклоненной к ним (по биссектрисе угла между ними) и равны .

Угол наклона главной площадки к оси X при плоском напряженном состоянии определяется формулой (плоскость, перпендикулярная оси z, свободна от напряжений).

ДЕ №5

1. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

Статические моменты площади фигуры относительно оси x, y определяется интегралами:

, .

Упрощенное вычисление – произведение площади сечения на расстояние от оси до центра тяжести сечения. Для сложной фигуры – сумма соответствующих произведений составляющих фигур.

Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется центральной. Центральные оси пересекаются в центре тяжести сечения. Общий подход к определению расстояния от центра тяжести сечения до оси:

, .

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан, т.у. отстоит от основания на 1/3 высоты.

Центр тяжести полуокружности отстоит от диаметра на .

1. Осевые момента инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Осевые моменты инерции площади фигуры относительно оси x, y определяется интегралами:

, .

Для простых сечений:

Прямоугольник высотой и основанием - относительно центральных осей , ;

- относительно сторон , ;

Равнобедренный треугольник высотой и основанием - относительно центральных осей

, ;

- относительно основания ;

Окружность диаметром d - относительно центральной оси ,

Полуокружность диаметром d относительно центральных осей , .

Для сложной фигуры из k простых , где - расстояние от центра тяжести i-ой фигуры до оси.

1. Главные оси и главные моменты инерции

Главными называются оси, относительно которых центробежный момент инерции

=0.

Или: оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Главные оси инерции можно провести через любую точку плоской фигуры.

Если одна из осей является осью симметрии – оси главные. Сумма моментов инерции при повороте осей не меняется.

В главных осях моменты инерции экстремальны относительно повернутых. Как следствие, при равных главных моментах инерции все повернутые оси главные.

1. Моменты инерции простых и сложных сечений

Вся теория изложена выше.

ДЕ №6

1. Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры

Связь поперечной силы и погонной нагрузки .?????

Связь изгибающего момента и поперечной силы .

Поперечная сила Q_y в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Момент в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_z изображено на рисунке…????????

1. Напряжения в поперечном сечении стержня при плоском изгибе

При плоском поперечном изгибе нормальные напряжения по ширине сечения балки распределяются равномерно.

При плоском изгибе стержня нормальные напряжения по высоте поперечного сечения имеют линейный закон распределения; равны нулю на нейтральной линии и достигают максимума в точках, наиболее удаленных от нее.

Нормальные напряжения в точке с координатой равно .

Максимальные нормальные напряжения в сечении определяются формулой ,

где момент сопротивления . Например, для прямоугольника , для круга .

Вывод формулы для определения нормальных напряжений при чистом изгибе основывается на гипотезе плоских сечений и гипотезе об отсутствии взаимного надавливания продольных слоев балки.

Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе определяются по формуле ; равны нулю на поверхности (при и ) и максимальны в центре тяжести сечения (при ).

Направление касательных напряжений соответствует направлению суммы внешних сил слева от сечения.????. Направление касательных напряжений в продольном сечении определяется по закону парности касательных напряжений.

1. Расчет балок на прочность

Расчет ведется по нормальным напряжениям (т.к. касательные для не тонкостенных балок значительно меньше нормальных).

Проверка на прочность по касательным напряжениям необходима в случае, если короткие балки нагружены перпендикулярно продольной оси силами, имеющими большое значение; материал балки плохо сопротивляется сдвиговым деформациям; ширина поперечного сечения балки в районе нейтральной оси мала.

Для пластичных материалов с одинаковой прочностью на растяжение и сжатие (сталей) .

Для хрупких материалов с разной прочностью на растяжение и сжатие (чугунов) расчет ведут отдельно для сжатых и растянутых слоёв.

Лучше работать на изгиб при данных условиях закрепления и нагружения будет балка, у которой сечение () изменяется в соответствии с с и изменением .

Полная проверка прочности балки при изгибе включает в себя проверку по нормальным напряжениям, проверку по касательным напряжениям и проверку по главным напряжениям.

Наиболее выгодным с точки зрения экономии массы является сечение, у которого при равенстве моментов сопротивления минимальное отношение площадей. При конкретном определяют и сравнивают площади соответствующих сечений. При сравнении двутавра и прямоугольника с высотой две ширины – отношение площадей (масс) в пользу двутавра.

В общем случае () на поверхности действуют только нормальные напряжения, в центре тяжести – только касательные, в произвольной точке – нормальные и касательные.

1. Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость

В сечении возникают прогибы и углы поворота .

В опоре прогиб равен нулю. При . Прогиб, при прочих равных условиях, обратно пропорционален .

В общем случае прогиб и угол поворота в точке А определяются по способу Верещагина: , где - площадь эпюры момента от внешних сил, - значение момента от единичной силы, приложенной в точке при ( - координата центра тяжести эпюры . Значение определяется также, но в точке прикладывается не единичная сила, а единичный момент.

В частных случаях:

· При равномерной погонной нагрузке на шарнирную балку в ее центре ;

· В точке приложения силы F на шарнирную балку в центре .

· В точке приложения силы F на консольную балку на свободном конце ;

· В точке приложения момента на консольную балку на свободном конце .

Во многих простых задачах полезно изобразить вид прогиба и ответить на поставленные вопросы. Например:

Очевидно, что в центре балки нет прогиба, но есть угол поворота.

Аналогично во многих других простых задачах.

ДЕ №9

33. Виды нагружения стержней

Приводим все действующие в сечении силы и моменты к главным центральным осям и определяем их проекции – внутренние силовые факторы .

Различают следующие виды нагружения стержней:

· Внецентренное сжатие – например, сжатие равнодействующей силой, приложенной на расстоянии от центра тяжести сечения; в общем случае ();

· Изгиб с растяжением- сжатием – тоже при любом знаке N;

· Косой изгиб – например, изгиб равнодействующей силой, проходящей через центр тяжести сечения или парой сил (моментом) не в плоскости каждой из главных осей, в общем случае ();

· Изгиб – например, изгиб равнодействующей силой, проходящей через центр тяжести сечения и совпадающей с одной из главных осей или парой сил (моментом) в плоскости одной из главных осей, в общем случае ();

· Изгиб с кручением - изгиб равнодействующей силой, не проходящей через центр тяжести сечения и параллельной одной из главных осей, в общем случае ();

· Косой изгиб с кручением - изгиб равнодействующей силой, не проходящей через центр тяжести сечения и не параллельной одной из главных осей, в общем случае ().

34. Пространственный косой изгиб

Уравнение нулевой линии (по которой нет нормальных напряжений) и проходит через центр тяжести сечения. В тестах принята левая система координат??!!

Моменты имеют одинаковый знак при одинаковом повороте против вокруг оси если смотреть с конца оси и наоборот. При одинаковом знаке моментов нулевая линия проходит через первый и третий квадрант, при разном знаке – через второй и четвертый.

Опасная точка – максимально удалена от нулевой линии.

35. Изгиб с растяжением-сжатием

Обратите внимание на обозначение осей в задачах!!! Левая система координат!!!

Что точно – знак напряжений!!!

Нормальные напряжения .

36. Изгиб с кручением

Вид напряженного состояния при кручении с изгибом стержня круглого поперечного сечения плоское.

В точке поверхности действуют нормальное и касательное напряжения, направленные по правилам изгиба и кручения. Учесть закон парности касательныхнапряжений.

Условие прочности по третьей гипотезе для круглого сечения

---

Дата добавления: 2015-07-19