Правильная пирамида.

Вспомните, каким условиям должна удовлетворять правильная призма.

Учащиеся: 1.Основание - правильный многоугольник

2. Боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Учитель: Для правильной пирамиды также должны выполняться два условия. Запишем определение правильной пирамиды и выделим их.(определение записывается на доске).

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Что называется центром правильного многоугольника?

Учащиеся: центр вписанной в него (или описанной около него) окружности

Учитель: Каким условиям удовлетворяет правильная пирамида?

Учащиеся: 1.Основание – правильный многоугольник, 2. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Учитель: Как же построить правильную пирамиду? Решим задачу 2: Построить правильную треугольную пирамиду.

С чего начнем построение?

Учащиеся: с основания.

Учитель: Изобразим тонкими линиями основание в виде произвольного треугольника.

Что теперь?

Учащиеся: Определяем проекцию вершины.

Учитель: Где находится проекция вершины в правильной пирамиде?

Учащиеся: В центре описанной окружности?

Учитель: Где располагается центр окружности, описанной около правильного треугольника?

Учащиеся: В точке пересечения медиан.

Учитель: Проводим две медианы (этого достаточно, чтобы найти центр?). Найдем проекцию вершины. Что теперь?

Учащиеся: Проводим высоту пирамиды и строим ее вершину. Затем строим боковые ребра.

Итак, как же мы строим правильную пирамиду?

Учащиеся: 1) строим основание; 2) строим центр основания – это будет проекция вершины пирамиды; 3) строим высоту и тем самым определяем вершину пирамиды; 4)строим боковые ребра.

Учитель: Теперь следующая задача 3: Изменится ли чертеж, выполненный к задаче 1, если потребуется построить правильную четырехугольную пирамиду (учащиеся дают объяснения тому, что чертеж (рис. 3) можно считать изображением правильной четырехугольной пирамиды, единственное, что надо добавить, что основанием является квадрат, значит, надо указать равенство сторон основания).

Учитель: Следующий пункт плана: 6. Свойства правильной пирамиды.

1-е свойство касается боковых ребер пирамиды (показывается модель правильной пирамиды). Сравните их. Каким свойством они обладают?

Учащиеся: Они равны.

Учитель: Верно. Запишем: 1-е свойство. Боковые рёбра правильной пирамиды равны. (записывается на доске)

Как доказать их равенство? Вспомните, как доказывается равенство отрезков?

Учащиеся: Из равенства треугольников.

Учитель: Какие треугольники можно рассмотреть, чтобы доказать, например, равенство ребер АМ и СМ? (доказательство ведется по рисунку правильной пирамиды из задачи 2).

Учащиеся: Δ МАО, Δ МОВ.

Учитель: Как докажем их равенство?

Учащиеся: Это прямоугольные треугольники, один катет общий – МО, а другие катеты являются радиусами окружности, описанной около основания. Значит, треугольники равны по двум катетам. (Ответы учащихся сопровождаются изменениями на чертеже; после проведенного доказательства на рисунке отмечается равенство боковых сторон).

Учитель: 2-е свойство касается боковых граней пирамиды. Что представляет собой каждая грань?

Учащиеся: Равнобедренный треугольник.

Учитель: Как вы думаете, каким ещё свойством обладают эти грани?

Учащиеся: Они равны.

Учитель: Верно. Запишем в тетради: 2-е свойство. Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. (записывается на доске)

Доказательство (устно).

Учащиеся: Боковые грани являются равнобедренными треугольниками по определению, так как мы доказали равенство боковых ребер. Боковые грани равны между собой по третьему признаку равенства треугольников: в основании лежит правильный многоугольник, а равенство других сторон мы доказали в свойстве 1.

Учитель: Итак, что о правильной пирамиде вы узнали?

Учащиеся: Узнали определение, алгоритм построения, свойства.

Комментарий. На этом этапе учащиеся изучают определение правильной пирамиды через сравнение с определением правильной призмы, выделяя в соответствующих определениях два существенных условия. Усвоение определения осуществляется через составление алгоритма построения правильной пирамиды и решение задачи на построение правильной треугольной пирамиды. Ведение с учащимися учебного диалога обеспечивает усвоение и ранее изученного материала урока. Интересным является задание на использование ранее построенного чертежа, так как это позволяет выделить общее и особенное в различных задачах. К выделению и доказательству свойств правильной пирамиды привлекаются учащиеся через постановку общих вопросов и привлечение моделей: «Первое свойство касается боковых ребер. Каким свойством они обладают?», «Второе свойство касается боковых граней. Что собой представляет каждая боковая грань? Каким еще свойством обладают боковые грани?». К доказательству свойств правильной пирамиды также привлекаются учащиеся через постановку общих вопросов: «Как обычно доказывают равенство отрезков?», «Какие треугольники можно рассмотреть?», «Можно ли доказать их равенство?».

Дата добавления: 2015-07-19