Образцы решения типовых задач.

1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Решение. Требуется найти доверительный интервал

.(*)

Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения . По таблице находим . Подставив , , в (*), окончательно получим искомый доверительный интервал .

2. Признак распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для с надежностью , если , , .

Решение. Требуется найти интервал

.

Для надежности и находим по таблице . Следовательно, . Концы доверительного интервала 6,34-0,26=6,08 и 6,34+0,26=6,60. Итак, доверительный интервал (6,08;6,60) покрывает с надежностью .

3. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

, если , (**)

или

, если .

По данным и по таблице найдем . Так как , то подставив , в соотношение (**), получим искомый доверительный интервал .

4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: . Отсюда

.(***)

По условию, ; следовательно, . По таблице найдем . Подставив , и в (***), получим искомый объем выборки .

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

(варианта)	-2
(частота)

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Выборочную среднюю и «исправленную» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:

, .

Подставив в эти формулы данные задачи, получим , .

Найдем . Пользуясь таблицей по и , находим .

Найдем искомый доверительный интервал:

.

Подставляя , , , , получим искомый доверительный интервал , покрывающий неизвестное математическое ожидание с надежностью 0,95.

6. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию . Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала

.(*)

Все величины, кроме , известны. Найдем . По таблице по и находим .

Подставив , , , в (*), получим искомый интервал: .

7. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказалась равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего с заданной надежностью :

(*)

По данным и по таблице найдем . Подставив , в соотношение (*), окончательно получим .

Дата добавления: 2015-07-19