Частотное представление стационарных случайных сигналов. Непрерывные спектры

Интегральное каноническое разложение для корреляционной функции получим из формулы (21.1) путем предельного перехода при . Приведем эту формулу

.

Увеличение интервала времени, на котором наблюдается случайный процесс, сопровождается уменьшением значений дисперсий, что следует из (21.2), приведем эту формулу

,

а также сокращением расстояния между спектральными линиями, поскольку

.

При достаточно большом, но конечном можно записать выражение для средней плотности распределение дисперсии по частоте

,

где средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте .

Теперь можно преобразовать формулы (21.4) и (22.2) к виду

.

Переходя к пределу при получаем

где

.

Так как величина является не только дисперсией коэффициента разложения корреляционной функции , но и дисперсией коэффициента разложения случайного процесса , то величина , полученная в результате предельного перехода при , представляет собой дисперсию, которая приходится на спектральные составляющие стационарного случайного процесса, занимающие бесконечно малый интервал частот . Функцию , характеризующую распределение дисперсии случайного процесса его частотам, называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса .

Выражение для интегрального канонического разложения корреляционной функции найдем, положив в формуле (22.3)

Введем обозначения

и повторим процедуру предельного перехода при для соотношения (21.5), получим каноническое разложение стационарной случайной функции

где дисперсией случайной функции является функция .

Поскольку понятие спектральной плотности стационарного случайного процесса играет большую роль при исследовании преобразования сигналов линейными системами, уточним её свойства и физический смысл.

Дата добавления: 2015-12-01