Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Этот критерий отличается от критерия Михайлова тем, что об устойчивости замкнутой системы судят по виду амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и экспериментально. Это обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от ранее изложенных.

Пусть передаточная функция разомкнутой линейной САУ , тогда . Введём вспомогательную функцию

.

Числитель этой функции представляет собой левую часть характеристического уравнения замкнутой системы, а знаменатель – левую часть характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рассмотрим годограф вспомогательной функции при изменении ω в пределах :

,

где - аргумент (фаза) функции (замкнутая система), - аргумент (фаза) функции (разомкнутая система). Требование устойчивости САУ в замкнутом состоянии выразится в равенстве (критерий Михайлова (11)), но

.(12)

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет l корней в правой полуплоскости (8), с учётом изменения ω от 0 до ∞

,

и, следовательно, из (11) и (12) имеем

.(13)

Так как вспомогательная функция отличается от частотной характеристики разомкнутой системы на +1, то условие устойчивости (13) можно непосредственно перенести на .

Теорема (критерий Найквиста). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1, i 0), где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Если разомкнутая система устойчива (l =0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку (-1, i 0).

Заметим, что для применении частотного критерия устойчивости Найквиста необходимо знать, устойчива или неустойчива система в разомкнутом состоянии. При этом, если система в разомкнутом состоянии неустойчива, то следует определить количество корней её характеристического уравнения, имеющих положительные вещественные части. Только в этом случае можно применить частотный критерий устойчивости Найквиста к исследованию устойчивости замкнутой системы.

Пример. На рисунке 3 изображён годограф частотной характеристики для разомкнутого колебательного звена. Как видно из рисунка 3, этот годограф не охватывает точку (-1, i 0), и так как разомкнутое колебательное звено устойчиво (), то устойчивымбудет и замкнутое колебательное звено.

Рисунок 3

Примеры годографов Найквиста статических САР (wÎ[0...+¥))

1. САР на колебательной границе устойчивости.

2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).

3. Неустойчивая САР.

4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

Дата добавления: 2015-11-30