Метод Гаусса (ручной способ)

Вариант задания ПР.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

3,2X₁+X₃+14X₄+2X₅=2,

-9X₁+2X₂-1,5X₃+2X₄-3X₅=7,

10X₁+4,4 X₂+7X₃+0,8X₄+5X₅=2, (6)

2X₁+6X₂-X₃-X₄+7,5X₅=1,

-6X₂+X₃+4X₄+X₅=13.

Согласно алгоритму определения значений неизвестных х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ необходимо исходную матрицу СЛАУ преобразовать в треугольную матрицу с нулевыми значениями коэффициентов слева относительно диагонали матрицы.

На первом шаге преобразований нулевое значение получают коэффициенты а₂₁, а₃₁, а₄₁, а₅₁.

Например:

а₂₁=а₂₁-а₁₁*q₂= (-9)-3,2*(-9/3,2)=0,

при приведении коэффициента а₂₁ к 0 принимались во внимание выражения (3) и (4).

Коэффициент q₁ на первом шаге преобразований определится как частное от деления а₂₁ на а_11:

q₂=a₂₁/a₁₁ = (-9)/3,2=-2,81 (7)

Чтобы уравнения системы (6) не потеряли исходное смысловое значение и соблюдались правила элементарных преобразований (см. стр. 9), отмеченные для коэффициента а₂₁ манипуляции необходимо проделать для остальных коэффициентов и свободного члена уравнения 2 системы: а₂₂=а₂₂-а₁₂*q₂, a₂₃=a₂₃-a₁₃*q₂, …, β₂=b₂-b₁*q₂.

Для коэффициентов уравнения 3 СЛАУ (Шаг 1) коэффициент q определяется как отношение а₃₁ к а₁₁: q₃=a₃₁/a₁₁=10/3,2=3,13; для уравнения 4: q₄=a₄₁/a₁₁=2/3,2=0,63; для уравнения 5: q₅=а₅₁/a₁₁=0/3,2=0.

Преобразовав коэффициенты уравнений 2, 3, 4, 5 исходной матрицы СЛАУ, соответственно применяя коэффициенты q₂, q₃, q₄, q₅, получаем матрицу (Шаг 1).

Далее необходимо получить нулевые значения коэффициентов а₃₂, а₄₂, а₅₂ матрицы (Шаг 2).

В данном случае коэффициент q, для строки 3 определится из соотношения: q₃=a₃₂/a₂₂=4,4/2=2,2; для строки 4: q₄=a₄₂/a₂₂=6/2=3; для строки 5: q₅=a₅₂/a₂₂=(-6)/2=(-3).

Примечание: коэффициенты q₃, q₄, q₅ для Второго шага преобразований рассчитываются по результатам работы на Первом шаге.

Применяя коэффициенты q₃, q₄, q₅, для преобразования коэффициентов матрицы СЛАУ, полученных на Первом шаге, получаем матрицу (Шаг 2).

Аналогично оформляем Шаг 3, Шаг 4.

Получаем ступенчатую матрицу (Шаг 4, таблица 2).

По формуле (5), используя результаты работы (Шаг 4, таблица 2), определяем значения неизвестных параметров системы уравнений (6):

х₅=β₅/a₅₅=14,75/7=2,11

x₄=(β₄-(a₄₅*x₅))/a₄₄=(-218,52-(-41,20*2,11))/-888,54=0,15

x₃=2,67

х₂=-1,27

х₁=-2,17

Обрати внимание!

В данных методических материалах полно не показаны расчеты коэффициентов матриц (Шаг 1, Шаг 2, Шаг 3, Шаг 4: таблица 2) и значений х₁, х₂, х₃, х₄, х₅. В курсовой работе все расчеты должны присутствовать.

Замечание справедливо для всех заданий варианта курсовой работы.

Таблица 2 – Прямой ход метода Гаусса

	Коэффициенты уравнений	q
Исходная матрица СЛАУ	3,2
-9		-1,5		-3		-2,81
	4,4		0,8			3,13
		-1	-1	7,5		0,63
	-6
Шаг 1	3,2
		1,31	41,38	2,63	12,63
	4,4	3,88	-42,95	-1,25	-4,25	2,2
		-1,63	-9,75	6,25	-0,25
	-6					-3
Шаг 2	3,2
		1,31	41,38	2,63	12,63
		0,99	-133,98	-7,03	-32,03
		-5,56	-133,88	-1,63	-38,13	-5,63
		4,94	128,13	8,88	50,88
Шаг 3	3,2
		1,31	41,38	2,63	12,63
		0,99	-133,98	-7,03	-32,03
			-888,54	-41,20	-218,52
						-0,90
Шаг 4	3,2
		1,31	41,38	2,63	12,63
		0,99	-133,98	-7,03	-32,03
			-888,54	-41,20	-218,52
				7,00	14,75

Дата добавления: 2015-12-01