I. Метод частных целей

Поиск решения, состоящий в разбиении решения на подзадачи (установление частных целей), которые в совокупности дают решение исходной задачи.

Пример 1: Задача о покрытии шахматной доски костяшками домино.

Можно ли костяшками домино покрыть шахматную доску размером 8x8, у которой удалены два угловых поля на одной диагонали? Одна костяшка покрывает два поля доски.

Рис. 1

Можно разбить задачу на частные цели:

1) Костяшка всегда закрывает одно белое и одно черное поле. Таким образом общее количество белых и черных полей, покрытых костяшками домино, всегда одинаково.

2) Для доски 8х8 угловые клетки, лежащие на одной диагонали, всегда имеют одинаковый цвет. Удалив два поля одного цвета, сделали количество белых и черных полей неравным – и, следовательно, невозможно покрытие всей доски.

Пример 2: Задача о греческом кресте.

Двумя прямыми линиями разрезать греческий крест так, чтобы из получившихся частей получить квадрат.

Рис. 2

Применим метод частных целей:

1) Какой площадью должен обладать получившийся квадрат? - Ясно, что площадь квадрата будет равна площади креста. Как видно из рисунка, греческий крест состоит из пяти маленьких квадратов площадью 1, следовательно, площадь большого квадрата S=5.

2) Далее, отсюда получаем, что сторона большого квадрата, который должен получиться, составит L = . Таким образом, двумя прямыми линиями нужно отсечь в кресте фигуры со стороной, равной L. Кроме этого, углы при этих сторонах должны быть прямые (это означает, в частности, что две проводимые прямые должны быть перпендикулярны).

3) Теперь, следующая частная цель – выделить в греческом кресте отрезок длиной . Из сторон малых квадратов можем выделять отрезки длины 1,2,3. Проводя наклонные линии под заданным углом, можно отсекать отрезки известной длины. Для нашей задачи заметим, что L² = 5 = 1+4, т.е. квадрат L равен сумме квадратов чисел 1 и 2. Такое соотношение в рассматриваемой фигуре легко найти – рассмотрим треугольник АВС. Катеты этого прямоугольного треугольника равны 1 и 2, а гипотенуза по теореме Пифагора составит Более того, легко можно показать, что линия, параллельная гипотенузе АС (например, отмеченная на рисунке пунктиром), также будет отсекать отрезок длины .

Пользуясь геометрическими свойствами получаемых фигур, дальнейшими рассуждениями можно показать, что две линии, параллельные гипотенузам соответствующих квадратов, перпендикулярны и отсекаемые ими части креста действительно могут образовать квадрат.

Рис. 3

Дата добавления: 2015-11-30