Краткие теоретические сведения. Метод Гаусса.

Читайте также:

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
x₁, x₂,..., x_n:

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

x₁=x'₁, x₂ =x'₂,..., x_n=x'_n,

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрица системы:

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x₁=0, x₂=0,..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду или треугольному, получив в результате элементарных преобразований строк и столбцов нулевые значения под главной диагональю

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначаем
r=rg(A) или r=Rg(A).

Справедливо следующее утверждение.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e₁, e₂,..., e_n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2,..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c₁ e₁ + c₂ e₂ +... + c_n-r e_n-r,

где c₁, c₂,..., c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

Пусть

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения для переменных x₁, x₂,..., x_r через x_r+1, x_r+2,..., x_n. Переменные
x₁, x₂,..., x_r называют базисными переменными, а переменные x_r+1, x_r+2,..., x_n — свободными переменными.

Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы

которые определяют общее решение системы.

Положим последовательно значения свободных переменных равными

и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:

Пример.

Исследуем однородную систему на совместность методом Гаусса

Определим матрицу системы A

Чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (щелкнув по соответствующей кнопке в панели Evalution Toolbar). Затем щелкните по кнопке Matrix or Vector Toolbar в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами. Откройте щелчком по кнопке Matrix or Vector окно диалога Insert Matrix, определите число строк (Rows) и число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

Найдем ранг матрицы системы A с использованием функции вычисления ранга матрицы

Для просмотра результата введите знак равенства, используя клавишу <=>.

rank(A):

Ранг матрицы системы A меньше числа неизвестных, система нетривиально совместна.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду

с помощью функции rref Mathcad

Функция rref(A) выполняет элементарные операции над строками матрицы A - приводит ее к ступенчатому виду.

Свободные переменные x3, x4, базисные переменные x1, x2, x5,

Запишем и решим эквивалентную систему:

Для того чтобы символьно решить систему относительно базисных переменных, используйте функцию Find. Введите с клавиатуры ключевое слово Given; затем уравнения системы сначала левую часть уравнения, далее символьный знак равенства (щелкнув по кнопке <=> в панели Boolean Toolbar) и нулевую правую часть.

Разрешите систему относительно базисных переменных x1, x2, x3: введите функцию Find(x1,x2,x3), знак символьных вычислений (щелкнув по соответствующей кнопке в панели Symbolic Toolbar) и щелкните по свободному месту в рабочем документе.

Запишем общее решение системы:

Общее решение системы определите как вектор-функцию, зависящую от свободных переменных x3, x4. Для этого введите с клавиатуры имя вектор-функции X(x3,x4), знак присваивания, определите матрицу из пяти строк и одного столбца, скопируйте в соответстующие три строки выражения для базисных переменных x1, x2, x5, вычисленных функцией Find(x1,x2,x5), и введите с клавиатуры в оставшихся двух строках имена свободных переменных x3, x4. Определенное таким способом выражение можно использовать для вычисления любого частного решения. Так, векторы X(1,0) и X(0,1) решения, полученные при x4=1, x5=0 и при x4=0, x5=1 соответственно. Эти два решения линейно независимы, они образуют искомую фундаментальную систему решений

Найдем фундаментальную систему решений:

Так, векторы X(1,0) и X(0,1) - решения, полученные при x3=1, x4=0 и при x3=0, x4=1 соответственно. Эти два решения линейно независимы, они образуют искомую фундаментальную систему решений.

Варианты индивидуальных заданий.