Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) —значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и .

Арифметические операции над пределами

Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.

1) , , если .

2) , если существуют конечные пределы , .

3) , если существуют конечные пределы , .

Следствие: , если существует конечный предел .

4)  

5) g(x)0, ,  

Замечание: Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов

17. Два замечательных предела и их следствия. Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

Дата добавления: 2015-11-30