Лабораторна робота 6

ОПИС ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ У ПРОСТОРІ СТАНІВ

Мета роботи: навчитись визначати зв’язок між описом у просторі станів та передавальними функціями для дискретних систем управління, визначати керованість та спостереженість для цих систем та зворотній перехід від передавальних функцій до опису у просторі станів.

Основні теоретичні відомості

Простір станів являє собою п -мірний простір, по осям якого відкладаються змінні стану. Змінними стану є мінімальний набір змінних, які повністю описують рух динамічної системи. Повний опис дискретної системи в просторі станів має вигляд:

де матриці можуть бути виражені з різничного рівняння:

,

(6.1)

Матриці для виразу (6.1):

– матриця Фробеніуса (матриця стану).

– матриця управління;

– матриця спостереження;

– матриця прямої передачі управління з входу на вихід.

Матриця показує реальну кількість входів в систему. Структура матриці показує реальні виміри системи.

Ці матриці повинні задовольняти наступним умовам:

- кількість рядків матриць A та B, а також матриць C та D повинні співпадати.

· кількість стовпців матриць A та C, а також матриць B та D теж повинні співпадати.

Представлення дискретних систем у MATLAB дуже подібне до представлення неперервних систем. Різниця полягає в тому, що для дискретних систем необхідно вказати час дискретності, який задається скаляром, і виражається в секундах:

.

Наприклад, у випадку час дискретизації рівний 0,1 секунда.

Зв’язок між вираженням системи у просторі станів та передавальними функціями представлено на рис.6.1.

Рис.6.1.

Для дискретного випадку:

.

Важливими поняттями в теорії простору станів є керованість та спостереженість.

Система керована, якщо існує керована послідовність, яка переводить систему із любого початкового стану в початок координат за кінцевий час. Матриця керованості

де -порядок системи.

Якщо ранг матриці рівний , то система повністю керована.

Система спостережувана, якщо існує таке кінцеве k, що знання входів (u),…,u(k-1) та виходів y(0),…,y(k-1) достатньо для визначення її початкового стану.

Матриця спостереженості

Якщо , то система повністю спостережувана.

В МАТLАB визначити матриці керованості та спостережуваності можна за допомогою операторів ctrb та obsv відповідно. Ранг матриці можна визначити за допомогою оператора rank.

Якщо матриці керованості та спостережуваності мають повний ранг, то система повністю керована та спостережувана. Наприклад:

CT=ctrb(A0,B0);

rank(CT)

OB=obsv(A0,C0);

rank(OB)

У командному вікні отримаємо результат:

CT = 1.0e+004 *

0.0000 -0.0001 0.0122 0.0036 -0.3721

-0.0000 -0.0030 0.0125 0.0394 -0.5191

0 -0.0031 0.0072 0.0622 -0.4564

0.0031 0.0072 0.0622 -0.4564 -0.0114

0 0.0011 -0.0050 -0.3636 1.5847

ans = 5

OB = 1.0e+003 *

0 0 0.0010 0 0

0 0 0 0.0010 0

0 0 0 0 0.0010

0 0 0 0.0010 0

0.0000 -0.0257 0 -0.0022 0

0 -0.0694 0.0694 0 0

0.0000 -0.0257 0 -0.0022 0

0.0001 0.1014 -0.0000 -0.0205 0

0.0003 0.1220 0 0.0010 0

0.0001 0.1014 -0.0000 -0.0205 0

-0.0005 0.3496 -0.0010 0.1449 0

-0.0005 -0.2375 -0.0028 0.1181 0

-0.0005 0.3496 -0.0010 0.1449 0

-0.0009 -4.3379 0.0048 0.0263 0

0.0014 -2.6199 0.0050 -0.4958 0

ans = 5.

У цьому прикладі видно, що ранг матриці керованості та ранг матриці спостережуваності рівні порядку системи. Тож дана система є керованою та спостережуваною.

Існує три типи з’єднань дискретних систем: послідовне, паралельне, зворотній зв’язок. Розглянемо дві системи sys1 та sys2:

sys1: ;

sys2: .

Структурна схема послідовного з’єднання представлена на рис.6.2.

Рис.6.2.

,

Ми можемо представити послідовне з’єднання таким чином:

У MATLAB для послідовного з’єднання використовується оператор series:

.

Результатом послідовного з’єднання двох систем (sys1 and sys2) у MATLAB маємо добуток моделей систем у просторі станів:

.

Структурна схема паралельного з’єднання представлена на рис.6.3.

Рис.6.3 Рис.6.4

Як видно з рис.6.3.

.

Ми можемо представити паралельне з’єднання таким чином:

,

.

У MATLAB для паралельного з’єднання двох систем використовується оператор parallel:

.

Результатом паралельного з’єднання двох систем (sys1 and sys2) у MATLAB маємо суму двох моделей систем у просторі станів:

.

Структурна схема зворотного зв’язку представлена на рис.6.4.

Зворотній зв’язок додатній, якщо сигнал (вихід sys2) додається до вхідного сигналу , і від’ємним, якщо сигнал віднімається від вхідного сигналу . Щоб замкнути систему за допомогою зворотного зв’язку в MATLAB використовується оператор feedback.

Якщо система має від’ємний зворотній зв’язок, то для розрахунку моделі в MATLAB необхідно задати:

,

де -система в прямому зв’язку, а -у зворотному.

Щоб задати додатній зворотній зв’язок необхідно в дужках на третє місце поставити 1:

.

Необхідно пам’ятати, що обидві системи sys1 і sys2 повинні бути обов’язково дискретними.

Для перетворення неперервної системи в дискретну в MATLAB використовується оператор :

Дискретизація неперервної системи sys відбувається за допомогою фіксатора нульового поряку на вході, -час дискретизації, виражений в секундах, sysd- дискретна система. перетворює дискретну систему в неперервну.

Хід роботи

Дано чотири матриці , які описують динаміку літака. І дано чотири матриці , які описують динаміку виконавчого механізму. Необхідно:

1) одержати дискретні моделі літака та виконавчого механізму ();

2) зробити послідовне з’єднання цих моделей за допомогою оператора series.

3) Обчислити керованість системи, отриманої в п.2.;

4) Обчислити спостереженість системи, отриманої в п.2.;

5) Перевести цифровий комплекс (літак + виконавчий механізм) у неперервну систему.

6) Оцінити керованість та спостережуваність системи, отриманої в п.5.

Завдання до лабораторної роботи 6

Варіанти див. лаб. роб. 5.

Контрольні запитання

1) В якому випадку система представлена в просторі станів?

2) Яким умовам повинні задовольняти матриці в просторі станів?

3) Яким чином можна представити дискретні системи в просторі станів у MATLAB?

4) Яка різниця між представленням дискретних та неперервних систем в просторі станів у MATLAB?

5) Дайте визначення керованості системи.

6) Дайте визначення спостереженості системи.

7) Який метод визначення керованості та спостереженості системи вам відомий?

8) Записати формулу послідовного з’єднання двох систем в просторі станів.

9) Записати формулу паралельного з’єднання двох систем в просторі станів.

10) Дайте визначення операторам series, parallel and feedback.

11) За допомогою якого оператора відбувається перехід від неперервної системи до дискретної, і навпаки.

ЗМІСТ

Загальні методичні вказівки..................................................................3

Лабораторна робота 1

Введення в MATLAB. Матриці та вектори,

подані в MATLAB.......................................................................3

Лабораторна робота 2.

Поліноми та передавальні функції........................................11

Лабораторна робота 3

Введення в SIMULINK. Модуляція сигналів......................20

Лабораторна робота 4

Передавальні функції для дискретних систем......................27

Лабораторна робота 5

Опис неперервних систем управління в просторі

станів.........................................................................................37

Лабораторна робота 6

Опис дискретних систем управління в просторі

станів.........................................................................................48

Навчально-методичне видання

ОСНОВИ

Дата добавления: 2015-11-30