Лабораторна робота 4

ПЕРЕДАВАЛЬНІ ФУНКЦІЇ ДЛЯ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ

Мета роботи: навчитись представляти передавальні функції для дискретних систем в пакеті програм MATLAB, здійснювати перехід від неперервної моделі до дискретної і навпаки, будувати часові характеристики.

Основні теоретичні відомості

Дискретні системи управління широко застосовуються в сучасній теорії управління. Вони майже витіснили неперервні системи, оскільки вони кращі по надійності, якості, точності, вартості і т.д. Система управління називається дискретною в тому випадку, якщо вона має дискретизацію сигналів (даних) по часу і по рівню. Перехід неперервного сигналу в дискретний здійснюється за допомогою дискретних елементів.

На рис.4.1. представлено структурну схему дискретної системи управління. Програмний таймер (ПТ) видає імпульси в заданий час. Кожна цифрова система управління має неперервну і дискретну частину. АЦП і ЦАП є містками між цими частинами. Дискретні функції описують за допомогою різничних рівнянь.

Різничним рівнянням називається відношення між вхідною та вихідною величинами динамічних систем в дискретний момент часу.

Рис.4.1

Якщо - порядок лінійного диференційного рівняння з постійними коефіцієнтами

,

то потім - порядок лінійного різничного рівняння з постійними коефіцієнтами

,

чи

,

де: ; ; ,

де - біноміальні коефіцієнти.

Передавальна функція для дискретних систем – це відношення - перетворення вихідного сигналу до - перетворення вхідного сигналу при нульових початкових умовах.

Для одномірних дискретних систем SISO (single-input-single-output) передавальна функція представлена відношенням , де чисельник, представлений поліномом змінних , - знаменник, який також представлений поліномом змінних .

Для такого випадку в MATLAB є оператор tf. Наприклад: ,

де і - вектор–рядок, який складається з коефіцієнтів поліномів і відповідно, починаючи від старшого степеня і закінчуючи вільним членом. Наприклад:

>>W=tf([40 -35], [1 -0.35], 0.1).

MATLAB видає результат

Transfer function:

40 z - 35

---------

z - 0.35

Sampling time: 0.1.

Якщо максимальний степінь чисельника менший чи рівний максимальному степеню знаменника, то така система є фізично реалізуєма. Якщо ця умова не виконується, то така система є фізично нереалізуєма.

Для перетворення неперервної системи в дискретну в пакеті MATLAB використовується оператор :

.

Дискретизація неперервної системи sys відбувається за допомогою фіксатора нульового поряку на вході, -час дискретизації, виражений в секундах, sysd- дискретна система.

перетворює дискретну систему в неперервну.

Описати дискретні системи математично можна за допомогою -функції.

Для неперервного випадку(рис.4.2, а.):

Для дискретного випадку (рис.4.2, б.):

Вхідний сигнал елемента дискретності (рис.4.2, в.):

.

Рис.4.2

Фіксатор є неперервною ланкою, і його реакція на -функцію є пульсація на виході реального дискретного елемента відповідно до його форми (див. рис.4.3.).

Рис.4.3

Існують різні види фіксаторів, наприклад, фіксатор нульового порядку (ZOH), фіксатор першого порядку (FOH), фіксатор другого порядку (SOH) та ін. Пристрій, який фіксує величину сигналу на час інтервалу дискретності, називається фіксатором нульового порядку (ZOH) (див.рис.4.4). Він не підвищує порядок системи, він дає зсуви за фазою.

Рис.4.4

У пакеті SIMULINK (рис.4.5, а.) є спеціальний блок Zero-Order Hold- фіксатор нульового порядку. Фіксатор першого порядку називається пристрій, який фіксує величину сигналу і його першої похідної на протязі інтервалу дискретності. Ми маємо кусочно-лінійну апроксимацію (рис.6). У пакеті SIMULINK (рис.4.5, б.) є спеціальний блок First-Order Hold - фіксатор першого порядку.

Рис.4.5

Рис.4.6

Існують різні види з’єднань передавальних функцій дискретних систем. Передавальна функції визначається в залежності від місця розміщення елемента дискретності.

Розглянемо послідовне з’єднання. Існує два типа послідовного з’єднання двох систем (рис.4.7, a, б)

Рис.4.7

Пояснення до схеми, зображеної на рис.4.7, а.

Реалізація в MATLAB:

Wd1=c2d(W1,0.1)

Wd2=c2d(W2,0.1)

W=series(Wd1,Wd2)

Пояснення до схеми, зображеної на рис.4.7, б.

Реалізація в MATLAB:

Wc=series(W1,W2)

W=c2d(Wc,0.1)

Розглянемо паралельне з’єднання двох систем (рис.4.8).

Рис.4.8

Реалізація в MATLAB:

Wc=parallel(W1,W2)

W=c2d(Wc,0.1)

Або другим шляхом

W=parallel(Wd1,Wd2)

Результат цих двох реалізацій повинен бути однаковим.

Розглянемо три типи зворотного зв’язку двох систем (див.рис.4.9. a, б, в).

Для визначення передавальної функції необхідно визначити вхідний сигнал кожного елемента дискретизації і зробити -перетворення.

Перший тип зв’язку (рис.9. а):

1) ; ;

2) ;

.

;

де “+” – це від’ємний зворотній зв’язок; а “-”- це додатній зворотній зв’язок.

У MATLAB для зворотного зв’язку використовується оператор feedback:

>>Wd1=c2d(W1,0.1),

>>Wd2=c2d(W2,0.1),

>>Wf=feedback(Wd1,Wd2), - для від’ємного зворотного зв’язку.

>>Wf=feedback(Wd1,Wd2, 1).- для додатного зворотного зв’язку.

a

б

в

Рис.4.9

Другий тип зв’язку (рис.4.9. б):

1) ;

;

2) ;

; .

.

Реалізація в MATLAB:

Wc=feedback(W1,W2);

Wd=c2d(Wc,0.1);

W=Wd1/(1+Wds)

Третій тип зв’язку (рис.4.9. в):

.

Важливою динамічною характеристикою системи є часові характеристики. Існує дві основні часові характеристики: перехідна характеристика та імпульсна.

У MATLAB перехідна характеристика будується за допомогою оператора step(sys), а імпульсна - за допомогою оператора impulse(sys).

Хід роботи

Частина I

Дано аналоговий сигнал . Необхідно

1) Пропустити його через елемент дискретності з періодом дискретності ;

2) Пропустити отриманий дискретний сигнал через дискретно-аналоговий перетворювач (ZOH і FOH).

Частина II

Дано передавальну функцію ланки системи і період дискретності .

Необхідно:

1. отримати аналітичну формулу для розрахунку передавальної функції всієї дискретної системи.

2. розрахувати передавальну функцію всієї дискретної системи.

3. для цієї передавальної функції побудувати перехідну характеристику.

4. для цієї передавальної функції побудувати імрульсну характеристику.

Завдання до лабораторної роботи 4

Дата добавления: 2015-11-30