Построение переходных характеристик системы

Расчет переходных характеристик системы в Mathcad выполняют двумя способами: численным интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений или символьными обратными преобразованиями Лапласа.

Численное определение переходной характеристики системы

Переходная характеристика системы находится при этом в три этапа:

1) преобразование передаточной функции системы в систему обыкновенных и алгебраических уравнений, общий вид которой:

Y(p)=Z₁(p)a₀+ ×a_j-1;

pZ₁(p)=Z₂(p);

pZ₂(p)=Z₃(p);

............;

pZ_i(p)=Z_i+1(p);

.............;

pZ_n-1(p)=Z_n(p);

pZ_n(p)=(X(p)- ×b_k-1),

где Z_i - дополнительные переменные состояния (выходы интеграторов);

2) численное интегрирование полученной системы;

3) вывод результатов в виде графиков или таблиц.

При преобразовании передаточной функции в систему уравнений рекомендуется использовать метод вспомогательной переменной. Для чего строится структурная схема, общий вид которой показан на рисунке 3.6.

Число интегрирующих элементов равно порядку полинома числителя и определяет порядок системы (количество дифференциальных уравнений).

Пример построения системы уравнений для передаточной функции (3.4)

На основе структурной схемы рисунка 3.6 с учетом порядка числителя и знаменателя W(p) детализируется на рисунке 3.7. По схеме рисунка 3.7 составляется система уравнений аналитической модели W(p):

dz₀(t)/dt=z₁(t);

dz₁(t)/dt=z₂(t);

dz₂(t)/dt=z₃(t);

dz₃(t)/dt=[x(t)–z₃(t)×b₃–z₂(t)×b₂–z₁(t)×b₁–z₀(t)×b₀]/b₄;

y(t)=z₀(t)a₀+z₁(t)×a₁+z₃(t)×a₃.

Время переходного процесса находится на основе максимального значения вещественной части вектора корней характеристического уравнения системы:

tп»||, где i=1…n.

Оценка жесткости производится с помощью отношением модулей максимального и минимальных значений корней характеристического уравнения:

m=.

Задача является плохо обусловленной («жесткой»), если m ³ 10⁵.

…

Z_n Z_m Z₂ Z₁

X(p) Y(p)

(-)

…

Рисунок 3.5 – Детализированная структурная схема разложения W(p)

X(p) Z₃ Z₂ Z₁ Z₀ Y(p)

(-)

Рисунок 3.6 – Пример детализации выражения (3.4)

Для численного интегрирования на интервале от tн до tк системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде векторной функции F, у которой начальные условия интегрирования в векторе y0 заданы, используются функции с числом шагов n с максимальным числом промежуточных точек решения k и минимально допустимым интервалом между точками s и погрешностью acc:

1) rkadapt(y0,tн,tк,acc,n,F,k,s) – метод Рунге-Кутта с переменным шагом;

2) Rkadapt(y0,tн,tк,n,F) - метода Рунге-Кутта с переменным шагом;

3) rkfixed(y0,tн,tк,n,F) – метод Рунге-Кутта с постоянным шагом;

4) Bulstoer(y0,tн,tк,n,F) – метод Булирша-Штера.

Для интегрирования на интервале от tн до tк “жестких” систем дифференциальных уравнений в Mathcad используются функции интегрирования с числом шагов n, погрешностью acc для матрицы якобиана J с максимальным числом промежуточных точек решения k, минимально допустимым интервалом между точками s, реализующие:

1) bulstoer(y0,tн,tк,acc,n,F,k,s) –метод Булирша-Штера с переменным шагом;

2) Stiffb(y0,tн,tк,n,F,J) –метод Булирша-Штера с переменным шагом;

3) stiffb(y0,tн,tк,acc,n,F,J,k,s) –метод Булирша-Штера переменным шагом;

4) Stiffr(y0,tн,tк,n,F,J) –метод Розенброка с переменным шагом;

5) stiffr(y0,tн,tк,acc,n,F,J,k,s) –метода Розенброка переменным шагом.

Пример расчета переходной характеристики для системы (3.1).

График строится с помощью шаблона XY Plot

Рисунок 3.7 – Построение переходной характеристики

3.6.2 Символьный расчет переходной характеристики

При этом используется раздел меню Simbolics Главного меню Mathcad, в котором для записанного выражения передаточной функции (для обозначения оператора Лапласа следует использовать символ s вместо p) используется символьная функция обратного преобразования Лапласа invlaplase из подраздела Transform. При этом можно использовать палитру символьных операций.

Контрольные вопросы

1. Как определяются экспериментально и теоретически запасы устойчивости по фазе и по модулю? Их физический смысл?

2. Как влияет на устойчивость системы коэффициент передачи и почему?

3. Какой коэффициент усиления разомкнутой системы называют критическим и почему?

4. Как определить критический коэффициент усиления системы, используя критерий Гурвица? Михайлова? Найквиста? Логарифмический? Экспериментально?

Список литературы

1 Макаров И.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал)/И.М. Макаров, Б.М. Менский. –М.: Машиностроение, 1982. –504 с.

2 Башарин А.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ: Учебное пособие для вузов.-3-е изд./А.В. Башарин, Ю.В. Постников. -Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отделение, 1990. -512 с.

3 Башарин А.В. Управление электроприводами/А.В. Башарин, В.А. Новиков, Г.Г. Соколовский. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1982. -392 с.

4 Горбацевич Е.Д. Аналоговое моделирование систем управления/Е.Д. Горбацевич, Ф.Ф. Левинзон. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -304 с.

5 Дьяконов В. Mathcad 8/2000: специальный справочник. –СПб.: Издательство «Питер», 2000. –592 с.

6 Плис А.И. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие/А.И. Плис, Н.А. Сливина. –М.: Финансы и статистика, 2000. –656 с.

Дата добавления: 2015-11-30