Метод наименьших квадратов (МНК)

МНК является одним из стандартных методов статистики. Сущность этого метода заключается в следующем. Допустим, что имеется n пар измеренных значений (x₁, y₁), (x₂, y₂)…(x_n, y_n). Предположим, что ошибки содержат лишь величины y.
(На практике это предположение часто оправдывается). По результатам измерений необходимо построить прямую линию.

В основе описываемого метода лежит положение, согласно которому, наилучшим приближением будет такая прямая линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до прямой (сумма квадратов погрешностей величины y(рис. 10)) является минимальной, то есть наиболее вероятные

Рис. 10. Распределение экспериментальных точек
относительно искомой прямой

значения параметров а и в (4.1) выбираются так, чтобы сумма

(4.2)

была минимальной. Это значит, что

,

. (4.3)

Таким образом, искомые величины а и в получаются решением системы уравнений:

(4.4)

(4.5)

Из уравнения (4.5) следует, что наилучшая прямая проходит через точку с координатами:

(4.6)

(В этом можно легко убедиться, поделив равенство (4.5)
почленно на n).

Из уравнений (4.4) и (4.5) находим:

(4.7)

. (4.8)

В лабораторном практикуме обычно бывает достаточно оценить погрешность коэффициента . Формула для среднеквадратичной ошибки величины а имеет вид (см. Список литературы – 3):

(4.9)

где (4.10)

, (4.11)

(4.12)

Интервал, в котором с установленной вероятностью α может находиться коэффициент а, записывается в виде:

(4.13)

где определяется формулой (4.7); – формулой (4.9);
t_α,n-2 – коэффициент Стьюдента для надежности α и числа измерений; n – число пар точек.

При использовании метода наименьших квадратов рекомендуется следующий порядок действий:

1. Составить таблицу

№ изм.	xi	yi	xiyi	xi^2
. i, n
	∑xi	∑yi	∑xiyi	∑xi^2

2. Рассчитать:

а). б). в).

г). д). е).

3. Рассчитать наилучшие значения углового коэффициента а по
формуле (4.7).

4. Зная коэффициенты а и б, провести наилучшую прямую: она должна проходить через точку с координатами и .

5. Для расчета погрешности величины а по формулам (4.9 – 4.12)
составить таблицу

№ п/п	yi -	xi -	(yi - )^2	(xi - )^2	Sx	Sy	r

ЧАСТЬ II

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ,
ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

Дата добавления: 2015-11-30