Неравенство Чебышева

Читайте также:

7.1. Неравенство Чебышева позволяет оценить близость случайной величины к ее математическому ожиданию:

или

Здесь – математическое ожидание, – дисперсия случайной величины, – любое действительное число > 0.

7.2. Неравенство Чебышева для частоты случайной величины, распределенной по закону Бернулли, имеет вид

Оно дает оценку снизу для отклонения частоты от вероятности при распределении Бернулли. Сравните с неравенством Бернулли! Конечно, эта оценка более грубая, но она легче считается.

7.3. Если имеется n случайных величин , причем

для всех i, то для средней справедливо неравенство .

7.4. Если математические ожидания у Х_i различные – , а дисперсия равномерно ограничены числом D, то .

Здесь – средняя случайных величин; – среднее математических ожиданий.

Пример 7. 1. Используя неравенство Чебышева, оценить снизу вероятность того, что при 40000подбрасываниях монеты частота выпадения герба отклонится от вероятности p = 0,5 не более, чем на 0,005.

Решение. Условие задачи позволяет считать, что случайная величина Х – число выпадений герба – имеет распределение Бернулли.

Согласно 7.2. имеем: .

Здесь

, т.е. искомая вероятность не менее 0,75.

Замечание. Эта же вероятность может быть точно найдена с помощью неравенства Бернулли:

Очевидно, что неравенство Чебышева дает в этом случае очень грубую оценку.

Пример 7. 2. Сколько измерений надо сделать, чтобы их среднее арифметическое дало измеряемую величину с точностью до 0,05 и надежностью 90% если дисперсии случайных величин равны 0,2?

Решение. Связь между средним арифметическим и измеряемой величиной устанавливается неравенством Чебышева:

. Здесь

Достаточно n выбрать так, чтобы

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1. Производится 3 независимых выстрела с вероятностью попадания 0,6 при каждом выстреле. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность хотя бы одного промаха.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y	-1
p	0,4	0,6		q	0,3	0,5	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (2;13) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 10 и среднее квадратичное отклонение = 4.

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.

6. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин. равно двум. Найти вероятность того, что за 3 мин. прибудут 2 самолета. (Считать, что число прибывающих самолетов распределено по закону Пуассона).

7. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность того, что частота появления герба отклонится от вероятности его появления меньше, чем на 0,1.

Вариант 2

1. Производится 5 независимых выстрела с вероятностью попадания 0,2 при каждом выстреле. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не менее 3 попаданий в мишень.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y
p	0,3	0,7		q	0,1	0,3	0,6

4. Найти вероятность попадания в интервал (5;14) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 9 и среднее квадратичное отклонение = 5.

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит 20 раз.

6. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин. равно двум. Найти вероятность того, что за 3 мин. прибудут не менее двух самолетов. (Считать, что число прибывающих самолетов распределено по закону Пуассона).

7. В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, что число извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет неравенству 80 < m < 120.

Вариант 3

1. Производится 3 независимых выстрела. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,4; 0,5; 0,7. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не менее 3 попаданий в мишень.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти а) коэффициент А; б) интегральную функцию ; в) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение;

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если задан закон распределения независимой случайной величины:

Х
p	0,2	0,5	0,3

4. Найти вероятность попадания в интервал (4;9) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 8 и среднее квадратичное отклонение = 1.

5. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Что вероятнее: стрелок попадет в мишень 1 раз или 2 раза при трех выстрелах?

6. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 2 опечаток, если число опечаток распределено по закону Пуассона.

7. Урожайность пшеницы с 1 га на обследуемом участке является случайной величиной, математическое ожидание которой = 30 ц., а дисперсия = 16. Оценить вероятность того, что количество пшеницы, собранной с 1 га этого участка будет от 25 ц. до 35 ц.

Вариант 4

1. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Х – число бракованных изделий из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих 3 изделий будет не менее двух бракованных.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если задан закон распределения независимой случайной величины:

Х	-1
p	0,1	0,3	0,6

4. Найти вероятность попадания в интервал (8;10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 7 и среднее квадратичное отклонение = 2.

5. В партии смешаны детали двух сортов: 80% первого и 20% второго. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей (выборка с возвращением).

6. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,0001. Найти вероятность не менее двух попаданий в цель при 5000 выстрелах.

7. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Оценить вероятность того, что число ламп, включенных в осветительную сеть за время Т, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 3.

Вариант 5

1. Производится 2 независимых выстрела с вероятностями попадания в цель соответственно 0,6 и 0,5. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность поражения цели.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y
p	0,3	0,7		q	0,4	0,3	0,3

4. Найти вероятность попадания в интервал (0,5; 3,5) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 3 и среднее квадратичное отклонение = 1.

5. Монету бросают 6 раз. Что вероятнее: герб выпадет не менее трех раз или не более трех раз?

6. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит менее двух заявок, если число заявок распределено по закону Пуассона.

7. Электростанция обслуживает сеть с 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить вероятность того, что количество ламп, включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 100.

Вариант 6

1. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной, равна 0,9. Х – число стандартных деталей. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих четырех деталей бракованных будет не менее трех.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимой случайной величины:

Х	-1
p	0,2	0,3	0,5

4. Изделие, выпускаемое цехом, по своим линейным размерам распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, а = 6 см и средним квадратичным отклонением = 0,08 см. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие будет иметь размеры в пределах от 5,95 до 6,05 см?

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 900 испытаниях событие произойдет 660 раз.

6. В процессе эксплуатации операционной системы некоторой ЭВМ установлено, что в течение года в среднем происходит 60 сбоев. Полагая, что число сбоев распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что в течение месяца произойдет не более одного сбоя.

7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,4. Оценить вероятность того, что отклонение частоты от вероятности наступления события в отдельном испытании не превысит 0,01 при 12000 испытаниях.

Вариант 7

1. Вероятность появления события А в одном испытании равна 1/3. Х – число появлений события А в трех независимых испытаниях. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность хотя бы двух появлений события А в трех испытаниях.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимой случайной величины:

Х
p	0,2	0,3	0,5

4. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным 50 и средним квадратичным отклонением равным 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение превышающее 50.

5. Принимая вероятность рождения девочки равной 0,5, найти вероятность того, что из 800 родившихся детей девочек будет 420.

6. Агрегат содержит 2000 деталей. Вероятность выхода детали из строя за время работы агрегата равна 0,001. Полагая, что число вышедших из строя деталей подчиняется закону Пуассона, найти вероятность выхода из строя более одной детали.

7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Сколько испытаний надо провести, чтобы с вероятностью не меньшей 0,998 можно было ожидать отклонение относительной частоты события от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01?

Вариант 8

1. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1. Х – число бракованных деталей из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих трех деталей бракованных будет не более одной.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если задан закон распределения независимых случайных величин:

Х					Y
p	0,1	0,7	0,2		q	0,4	0,6

4. Найти вероятность попадания в интервал (12;14) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 10 и среднее квадратичное отклонение = 3.

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 900 испытаниях относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,004.

6. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин равно 3. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит 5 вызовов, если число вызовов распределено по закону Пуассона.

7. Одна из установок содержит 10 однотипных деталей, каждая из которых может выйти из строя за определенное время Т независимо от остальных с вероятностью 0,1. Оценить снизу вероятность того, что число деталей, вышедших из строя за время Т, отличается от своего математического ожидания меньше, чем на 3.

Вариант 9

1. Производится 3 независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в цель при каждом выстреле равны 3/4. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность двух попаданий в мишень.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y
p	0,4	0,6		q	0,1	0,7	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (15; 25) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 20 и среднее квадратичное отклонение = 5.

5. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей бракованных окажется не более трех.

6. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из них равна p = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

7. Математическое ожидание длины детали 50 см, дисперсия 0,1. В каких границах с вероятностью не менее 0,6 следует ожидать длину проверяемой детали?

Вариант 10

1. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что не будет выпущено ни одной нестандартной детали равна 0,9. Х – число стандартных деталей из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность того, что среди этих трех деталей будет хотя бы две бракованных.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если задан закон распределения независимых случайных величин:

Х
p	0,5	0,3	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (4;9) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 5.

5. Вероятность появления события в каждом из n независимых испытаний равна 0,2. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,876 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.

6. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно двум. Найти вероятность того, что за 2 часа в порт зайдет пять кораблей.(Если число кораблей, заходящих в порт, распределено по закону Пуассона).

7. Дисперсия каждой из 2500 случайных величин не превышает 5. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превысит 0,4.

Вариант 11

1. Х – число выпадений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность невыпадения шестерки при четырех подбрасываниях кости.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х					Y
p	0,4	0,5	0,1		q	0,3	0,5	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (6; 10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 4.

5. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,9. Найти вероятность тог, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 80 и не более 95 раз.

6. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин равно двум. Найти вероятность того, что за 3 мин поступит три вызовов, если число вызовов распределено по закону Пуассона.

7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Сколько испытаний нужно провести, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было ожидать отклонение частоты события от его вероятности не более, чем на 0,02?

Вариант 12

1. Х – число выпадений герба при шести подбрасываниях монеты. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность выпадения герба не менее двух и не более пяти раз.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y
p	0,2	0,8		q	0,5	0,3	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (3; 10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 4.

5. Как велико должно быть число испытаний, чтобы с вероятностью равной 0,995 можно было ожидать, что относительная частота события А

будет отличаться от его вероятности 0,6, постоянной для всех испытаний, менее, чем на 0,01 в ту и другую сторону.

6. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит 5 разбитых бутылок.

7. Дисперсия каждой из 1000 случайных величин не превышает 5. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превысит 0,04.

Вариант 13

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,8. Х – число стандартных деталей среди четырех проверенных. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не менее трех бракованных среди этих четырех.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y	-1
p	0,4	0,6		q	0,3	0,1	0,6

4. Найти вероятность попадания в интервал (1; 12) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 5 и среднее квадратичное отклонение = 1.

5. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.

6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 4 бракованных книги.

7. Известно, что дисперсия каждой из независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не более, чем на 0,25, превысит 0,99.

Вариант 14

1. Два стрелка стреляют по мишени, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого стрелка вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7, для другого – 0,9. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность одного промаха.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y
p	0,2	0,8		q	0,5	0,3	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (0,5; 3,5) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 3 и дисперсия ²= 1.

5. Вероятность соблюдения пассажиром правил при прохождении через контрольный пост метрополитена равна 0,9. Сколько пассажиров должно пройти через контрольный пост, чтобы с вероятностью равной 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты соблюдения правил от вероятности 0,9 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.

6. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит не менее трех вызовов, если число вызовов распределено по закону Пуассона.

7. Случайная величина Х принимает как положительные, так и отрицательные значения. Ее математическое ожидание , а дисперсия . Оценить вероятность того, что отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине: а) не превысит 3; б) превысит 3.

Вариант 15

1. Устройство состоит из четырех элементов. Вероятность того, что за время опыта любой из этих элементов откажет, равна 0,1. Х – число отказавших элементов. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность поражения цели.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х
p	0,1	0,2	0,4	0,3

4. Найти вероятность попадания в интервал (2; 10) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 4 и среднее квадратичное отклонение = 6.

5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 80 раз.

6. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 3 изделия.

7. Среднее квадратичное отклонение каждой из 1312 независимых случайных величин не превосходит 5. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превысит 0,4.

Вариант 16

1. Х – число выпадений тройки при трех подбрасываниях игральной кости. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность выпадения двух троек.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

4. Найти вероятность попадания в интервал (2; 11) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 6 и среднее квадратичное отклонение = 3.

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что в серии из 1500 испытаний это событие произойдет 600 раз.

6. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно двум. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит не менее трех заявок, если число заявок распределено по закону Пуассона.

7. Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 0,8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаниях отклонение частоты положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,5.

Вариант 17

1. Устройство состоит из трех элементов. Вероятность того, что за время опыта любой из этих элементов откажет, равна 0,2. Х – число отказавших элементов. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность отказа не более одного элемента.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х
p	0,5	0,3	0,2

4. Вес выловленных в пруду рыб распределяется по нормальному закону со средним значением = 300 г. и дисперсией ² = 100. найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет заключен в пределах от 280 до 320 г.

5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий бракованных окажется 15, если бракованные изделия составляют в среднем 10%.

6. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно четырем. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит не менее трех заявок, если число заявок распределено по закону Пуассона.

7. Принимая вероятность электрической лампочки быть исправной за 0,9, оценить вероятность того, что в партии из 150 электролампочек число дефектных выйдет за пределы интервала (10;20).

Вариант 18

1. Вероятность появления события А в одном испытании равна 1/3. Х – число появлений события А в четырех независимых испытаниях. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность появления события А хотя бы в двух испытаниях.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимой случайной величины:

Х
p	0,5	0,3	0,2

4. Найти вероятность попадания в интервал (3; 6) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание, а = 2 и среднее квадратичное отклонение = 5.

5. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,7698 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности p = 0,5 не превышает .

6. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час равно двум. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдет не менее пяти кораблей (считать число кораблей, заходящих в порт, распределенным по закону Пуассона).

7. Оценить вероятность того, что в партии из 10000 подшипников отклонение относительной частоты бракованных подшипников от вероятности подшипнику быть бракованным, равной 0,01, превышает 0,008 по абсолютной величине.

Вариант 19

1. Х – число выпадений герба при четырех подбрасываниях монеты. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность выпадения трех гербов.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y
p	0,2	0,8		q	0,5	0,3	0,2

4. Найти вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х с математическим ожиданием а = 1 и дисперсией ²= 4, примет значение меньшее 0, но большее -5.

5. Вероятность выплавки стабильного сплава в дуговой вакуумной установке равна 0,9 в каждой плавке. Произведено 100 плавок. Найти вероятность того, что относительная частота выплавки стабильного сплава отклонится от вероятности не более, чем на 0,003.

6. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин равно двум. Найти вероятность того, что за 3 мин поступит менее трех вызовов, если число вызовов распределено по закону Пуассона.

7. Событие А происходит в каждом опыте с вероятностью 0,5. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что число появлений события А в 1000 опытах будет в пределах от 400 до 600?

Вариант 20

1.Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого, второго и третьего стрелка соответственно равны 0,4; 0,45; 0,6. Каждый стрелок делает по выстрелу. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность поражения цели двумя стрелками.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если задан закон распределения независимой случайной величины:

Х
p	0,2	0,4	0,3	0,1

4. Автомат штампует детали, длина которых Х распределена нормально с математическим ожиданием равным 50 мм и средним квадратичным отклонением 20 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм и меньше 68 мм.

5. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке 0,6. 0,6. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 40 деталей половина окажется первого сорта.

6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут не более двух элементов.

7. Оценить вероятность того, что при 24000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба отклонится от вероятности p = 0,5 не более, чем на 0,005.

Вариант 21

1. Вероятность появления события А в одном испытании равна 1/4. Х – число появлений события А в четырех независимых испытаниях. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность появления события А хотя бы в двух испытаниях.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если задан закон распределения независимой случайной величины:

Х
p	0,3	0,5	0,2

4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

5. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий, число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,6.

6. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 мин равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин прибудут не более двух самолетов, если число прибывших самолетов распределено по закону Пуассона.

7. Для определения средней урожайности фермерского поля в 5000 га предполагается взять на выборку по 1 кв. м. с каждого гектара площади и точно подсчитать урожайность с этих квадратных метров. Оценить вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от истинной средней урожайности на всем поле не более, чем на 0,2 ц, если предположить, что среднее квадратичное отклонение урожайности на каждом га не превышает 5 ц.

Вариант 22

1. Производится испытание детали на надежность. Вероятность отказа детали за время испытания равна 0,3. Х – число отказавших деталей из трех, подвергнувшихся испытанию. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность отказа не более одной детали.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х					Y
p	0,4	0,5	0,1		q	0,4	0,6

4. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.

5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или четыре из восьми, если ничьи во внимание не принимаются?

6. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 мин равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин прибудут два самолета, если число прибывших самолетов распределено по закону Пуассона.

7. Сколько должно быть произведено независимых измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,98, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине меньше, чем на 0,01, если дисперсия отдельного результата измерения не превосходит 1.

Вариант 23

1. Игральную кость подбрасывали три раза. Х – число выпадений двойки. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность не более двух выпадений двойки.

2. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Х				Y	-1
p	0,4	0,6		q	0,5	0,5

5. На склад магазина поступают изделия, из которых 80% высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий не менее 85 окажется высшего сорта.

6. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность повреждения в пути хотя бы одного изделия.

7. Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви, необходимы туфли 36 размера, равна 0,2. Оценить вероятность того, что доля покупателей, которым необходимы туфли указанного размера, отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,2 не более, чем на 0,1, если всего в магазине ожидается 1000 покупателей.

Вариант 24

1.Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого, второго и третьего стрелка соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Каждый стрелок делает по выстрелу. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины а) построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение; в) вероятность хотя бы двух попаданий в мишень.

2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

г) . Построить графики и .

3. Вычислить и , если заданы законы распределения независимых случайных величин:

Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 83 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая страница	\|	следующая страница ==>
Распределение Пуассона	\|	Понятие об авариях и осложнениях

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.086 сек.)