Формула Пуассона. Примеры вычисления

ВАРИАНТ № 7

1 Автомобили и карточки пронумерованы от 1 до 10. Для проведения вы- борочных испытаний из партии в 10 автомобилей выбирают 3 путем случайного последовательного выема без возвращения трех карточек из колоды в 10 карто- чек. Найти вероятность того, что будут выбраны четные номера.

2 Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна р.

Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие Аi означает от- каз элемента с номером i (i = 1,2,3,...), а событие В – отказ цепи за время Т. Требуется: а) написать форму- лу, выражающую событие В через все события Аi; б) вычислить Р(В) при р = 1/2.

3 Количество грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит автозаправочная станция, относится к количеству легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 5:2. Вероятность того, что проезжающей грузовой машине необходимо заправляться горючим, равна 0.02. Для легковой машины эта вероятность равна 0.05. Найти вероятности событий: а) случайным образом выбранная проезжающая автомашина будет заправляться горючим (событие А); б) подъехавшая на заправку автомашина – грузовая (событие В ).

4 Вероятность брака детали в партии из п деталей равна р. Каким должно быть число m проверенных деталей, чтобы попалась хотя бы одна бракованная деталь с вероятностью не меньшей 0.9, при р = 0.05? По приближенной формуле Пуассона найти вероятность того, что в партии не более двух бракованных дета- лей при п = 200 и р = 0.01.

5 Число импульсов помехи за время t распределено по закону Пуассона с параметром, равным 0.5. Информация, передаваемая по радиоканалу в течение времени t, принимается правильно при наличии хотя бы одного импульса помехи с вероятностью 0.5 и с вероятностью 1 при отсутствии импульсов. Найти вероятность того, что переданная за время t информация будет правильно принята.

6 Известна плотность вероятности случайной величины X

Найти: а) С; б) F (x); в) M (X); г) D (X); д)s (X); е) P éë X - M (X) <s (X)ùû; ж)Построить графики f (x) и F (x).

7 Параметр X детали распределен нормально с тх = 2, равным номиналу,

и s х = 0.012. Найти вероятность того, что отклонение X от номинала по модулю

не превысит 1 % номинала.

8 Вероятность появления опечатки на странице книги, содержащей 100 страниц, равна 0.03. Найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток по: а) точной биномиальной формуле; б) приближенной формуле Пуаcсона. Кроме того, вычислить абсолютную

D и относительную d погрешности приближенного вычисления.

9 По каналу связи посылаются п сообщений. Помехами каждое сообщение может быть искажено с вероятностью р. Каким должно быть п, чтобы хотя бы одно сообщение дошло не искаженным до адресата с вероятностью не меньшей 0.99 при р = 0.3? С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность искажения не более одного сообщения при п = 100, р = 0.02.

10 Число неисправностей сложного устройства, обнаруживаемых при про- филактическом осмотре, распределено по закону Пуассона с параметром а = 2. Если неисправностей нет, то устройство запускается в работу немедленно. Если есть одна неисправность, то в течение времени Т она устраняется с вероятностью 0.9. Если неисправности более одной, то устройство ставится на ремонт на время, большее Т, до устранения всех неисправностей. Найти вероятность того, что по- сле профилактического осмотра устройство простоит без работы время, большее Т.

Формула Пуассона. Примеры вычисления

Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю , то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

ТЕОРЕМА ПУАССОНА

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но достаточно мала, число независимых испытаний достаточно велико, при этом сочетания меньше десяти то вероятность того, что в количестве испытаниях событие наступит ровно раз примерно равна

где

Для формулы Пуассона используют таблицы табулирования функции .

-------------------------------

Рассмотрим примеры типичных для студентов задач.

Пример 1. Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг.

Решение. Проверим выполнение условия теоремы Пуассона. Для входных значений

получим

что условия выполняются.
По табличным значениям функции Пуассона находим вероятность

Применения к этому событию локальную теорему Лапласа получим

Точное значение вероятности определяем по формуле Бернулли

Из анализа трех методов следует, что формула Пуассона дает более точнее приближения, чем формула Лапласа. Именно поэтому ее рекомендуют применять для отыскания вероятности в такого сорта задачах.

-------------------------------

Пример 2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Решение. Имеем даные , которые удовлетворяют требования теоремы Пуассона По таблице функции Пуассона при получим:

Найдем вероятность того же события по локальной теореме Лапласа.

Для ,

искомая вероятность:

Точное значение вычисляем согласно формулы Бернулли:

Таким образом, формула Пуассона дает гораздо более точное приближение, чем формула Лапласа.

-------------------------------

Пример 3. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная, равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 200 деталей окажется 5 бракованных?

Решение. Есть , есть удовлетворяются требования теоремы

По таблице функции Пуассона при получим:

----------------------------------------------

Используйте формулу Пуассона в тех задачах, где она более уместна. Всегда проверяйте выполнения условия теоремы Пуассона, при значениях которые не удовлетворяют условие формула дает большую погрешность при вычислении вероятности. Для проверки результата применяйте формулу Бернулли, она более точна и с ее результатом найденную вероятность по формуле Пуассона лутше всего сравнивать. Если погрешность невелика, тогда Вы все сделали правильно, в противном случае придется вычислять снова или найти слабое место и исправить ошибки.

Дата добавления: 2015-11-14