Теоретичні відомості

Перевірка законів збереження енергії та імпульсу

Обладнання: лабораторна установка, яка складається із двох кульок, відомої маси, що підвішені на двох довгих нитках, шкала для вимірювання кутів відхилення нитки від вертикалі.

Мета роботи: на прикладі центрального пружного та непружного зіткнення двох кульок перевірити закони збереження імпульсу, енергії та обчислити коефіцієнти відновлення енергії.

Теоретичні відомості

1. Пружне центральне зіткнення двох кульок. Початкове положення куль показано на рис. 1. Перша куля масою відведена вправо так, що нитка, на якій вона підв’язана, створює кут з вертикаллю, а сама кулька знаходиться на висоті відносно початкового рівня. Друга кулька масою вільно висить на нитці. Початкові швидкості кульок та дорівнюють нулю.

Якщо відпустити першу кульку, то вона повернеться в положення рівноваги і безпосередньо перед зіткненням з другою кулькою буде мати швидкість .

Повна енергія системи двох кульок перед їх зіткненням (див. рис. 2) дорівнює кінетичній енергії першої кульки, бо сума кінетичної енергії другої кульки і потенціальної енергії обох кульок (якщо вони знаходяться в нижньому положенні) дорівнює нулю, тобто:

В перший момент після зіткнення (див. рис. 3), перерозподіливши енергію та імпульс, кульки розлітаються із швидкостями, які мають початкове значення та і сумарна повна енергія системи безпосередньо після зіткнення дорівнює сумі їх кінетичних енергій:

Коефіцієнт відновлення енергій при ударі двох кульок дорівнює відношенню повної енергії системи після удару до енергії системи до удару, тобто:

(1)

Для визначення коефіцієнта відновлення енергії необхідно провести вимірювання миттєвих значень швидкості кульок безпосередньо перед і після моменту їх зіткнень. Виконати ці вимірювання в принципі можливо, але технічне забезпечення цих вимірювань є досить складним. Простіше піти іншим шляхом – використати закон збереження енергії. Коли кулька знаходиться в початковому положенні (див. рис. 1), то повна енергія системи дорівнює:

(2)

Той факт, що кінетична енергія першої кульки на початку руху дорівнює нулю, є очевидним – на початку руху швидкість першої кульки дорівнює нулю.

В останній момент перед зіткненням (див. рис. 2), повна енергія системи дорівнює:

(3)

Потенціальна енергія системи в цей момент дорівнює нулю, бо висота кульок над початковим рівням дорівнює нулю.

Використовуючи закон збереження енергії прирівнюємо між собою праві частини виразів (2) та (3) і отримуємо:

(4)

Після удару перша і друга кульки, маючи кінетичну енергію, піднімаються на висоту та відповідно. Під час під’йому їх кінетична енергія поступово перетворюється на потенціальну, а при під’йомі на максимальну висоту – перетворюється на потенціальну повністю (див. рис. 4). Використовуючи закон збереження енергії, можна одержати аналогічні вирази для швидкостей :

(5)

(6)

Замінивши , та в формулі (1) на, відповідно, , та отримаємо новий вираз для коефіцієнта відновлення енергії при пружному центральному зіткненні двох куль:

(7)

Зв’яжемо висоти підйому кульок , та з кутами, які утворюють нитки із вертикаллю.

Із рис. 1 видно, що: . А із трикутника маємо: . Таким чином:

Із курсу тригонометрії відомо, що , тому:

Для та можна отримати аналогічні вирази:

Підставивши значення , та в формулу (7), отримаємо остаточний вираз для коефіцієнта відновлення енергії при пружному центральному зіткненні двох кульок:

(8)

Перевірка закону збереження імпульсу при пружному центральному зіткненні двох куль.

Сумарний імпульс замкнутої системи є величиною незмінною.

Безпосередньо перед зіткненням сумарний імпульс системи двох пружних куль дорівнює імпульсу першої кулі , бо імпульс другої кулі перед зіткненням дорівнює нулю, тобто, перед зіткненням сумарний імпульс системи тіл дорівнює:

(9)

Після зіткнення кульки рухаються з швидкостями та , причому співпадає з напрямком , тоді як має протилежний до напрямок (рис.3). Тому сумарний імпульс системи двох пружних кульок після зіткнення дорівнює:

(10)

За законом збереження імпульсу: . (11)

Якщо, рівність (11) підтвердиться на досліді, то підтвердиться і закон збереження імпульсу при центральному пружному зіткненні.

Раніше, за законом збереження енергії, були знайдені значення швидкостей , та : ; ; .

Підставивши значення швидкостей , та у вирази (9) і (10) отримаємо співвідношення для початкового та кінцевого імпульсу системи:

; . (12)

Формули обчислення інтервалів сподівання для імпульсів, як випливає із методики оцінки точності опосередкованих вимірювань, будуть такими:

(13)

(14)

Якщо інтервал сподівання для сумарного імпульсу тіл після зіткнення буде накладається на інтервал сподівання для сумарного імпульсу тіл до зіткнення, то закон збереження імпульсу при центральному пружному зіткненні кульок двох підтвердився.

Дата добавления: 2015-11-14