Структура равновесия, совершенного по под-играм, для критерия угасания

Равновесная стратегия каждого игрока, построенная в доказательстве предложения 151.1, которое рассматривает игры с множителем ослабления, близким к 1, имеет особенность, состоящую в том, что при отклонении от нее одного игрока последующая последовательность действий зависит только от самого игрока, и не зависит от истории, которая предшествовала отклонению. В данном разделе мы покажем, что для любого общего ослабляющего множителя может быть найден профиль таких стратегий, обеспечивающих любой равновесный исход, совершенный по под-играм.

Мы начнем с двух лемм, первая из которых расширяет одно свойство отклонения, доказанное для расширенных конечных игр в Лемме 98.2, на бесконечно повторяемые игры с ослаблением.

Лемма 153.1. Профиль стратегий является равновесием, совершенным по под-играм в -ослабленной бесконечно повторяемой игре тогда и только тогда, когда не существует игрока, который получил бы выгоду от отклонения на одном периоде игры после любой истории.

Упражнение 153.2. Докажите этот результат.

Следующий результат показывает, что при сделанных предположениях множество профилей выигрышей в равновесиях, совершенных по под-играм, любой бесконечной -ослабленной игры является замкнутым.

Лемма 153.3. Пусть – последовательность профилей выигрышей в равновесиях, совершенных по под-играм, в -ослабленной бесконечно повторяемой игре , которая сходится к . Тогда является профилем выигрышей в равновесии, совершенном по под-играм, данной повторяющейся игры.

Доказательство. Для каждого значения обозначим через равновесие, совершенное по под-играм, которое обеспечивает профиль выигрышей . Мы построим профиль стратегий , который, как мы покажем, является равновесием, совершенным по под-играм, и который обеспечивает профиль выигрышей . Определим индукцией по длине истории профиль действий игры и вспомогательную бесконечную подпоследовательность последовательности , обладающую тем свойством, что профиль выигрышей, обеспечиваемый членами подпоследовательности в подыгре с историей имеет предел, и что профиль действий сходится к . Предположим, что мы сделали это для всех историй длины меньшей или равной , и рассмотрим историю длины , где – история длины . Пусть будет последовательность профилей стратегий, которые мы выбрали для истории , и пусть будет профилем действий, который мы выбрали для этой истории. Для выберем для подпоследовательность последовательности , для которой последовательность сходится, и пусть профиль действий, к которому сходится будет . Очевидно, что предельный профиль выигрышей выбранной нами подпоследовательности тот же, что и для последовательности . Для выберем для подпоследовательность последовательности , для которой последовательность профилей выигрышей и последовательность сходятся, и пусть профиль действий, к которому сходится будет .

Не существует игрока , который смог бы получить выгоду, отклоняясь от , меняя свои действия после истории и получая некоторый выигрыш вместо , так как если бы это было возможным, то для достаточно больших он смог бы отклоняться от , где – последовательность, которую мы выбрали для истории . Далее, профилем выигрышей является .

Этот результат показывает, что множество выигрышей в равновесиях, совершенных по под-играм, любого игрока в повторяющейся игре является замкнутым; так как это множество ограничено, то существует минимум, который мы обозначим через . Пусть – исход в равновесии, совершенном по под-играм, в котором выигрыш игрока составляет .

Предложение 154.1. Пусть – исход в равновесии, совершенном по под-играм -ослабленной бесконечно повторяющейся игры . Тогда профиль стратегий, в котором каждый игрок использует следующий автомат, является равновесием, совершенным по под-играм, с тем же исходом .

· Множество состояний:

· Начальное состояние:

· Функция вывода: В состоянии играть . В состоянии играть .

· Функция перехода:

o В состоянии перейти в состояние , если только не существует единственного игрока, скажем, , который отклонился от , в этом случае перейти в .

o В состоянии перейти в состояние , если только не существует единственного игрока, скажем , который отклонился от , в этом случае перейти в .

Доказательство. Легко проверить, пользуясь леммой 153.1, что данный автомат задает равновесие, совершенное по под-играм с требуемыми свойствами.

Дата добавления: 2015-11-14