Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Сила, що діє точку, що коливається. Зв'язок коливального і обертального рухів.

Коливання називають періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим прикладом періодичних коливань є гармонічні коливання, під час яких фізична величина змінюється з плином часу за законом

x = A sin(w t + j₀), або x = A cos(w t + j₀), (5.1.1)

де А, w, і j₀ - постійні величини, причому А > 0, w > 0.

Найпростіший приклад гармонічного коливання - це коливання вздовж осі Ох проекції кінця радіуса-вектора точки, що рухається по колу радіуса А (рис.5.1.2). Якщо t = 0 радіус вектор ОВ утворює з віссю Оу кут j₀, а за час t описує кут w t, так що в довільний момент часу x = A sin(w t + j₀).

Хай матеріальна точка обертається по колу з радіусом Xm з кутовою швидкістю ω. Тоді, якщо 0 декартової системи координат помістити в центр цього кола. координата обертової точки буде змінюватися за законом

x = x_m cos (ω t + φ₀) Y=x_m sin (ω t + φ₀)

де X,Y - координати точки в момент часу t,

ω - кутова швидкість,

φ₀ - кут між радіусом та віссю Х в початковий момент часу (t=0) Ці функції ПОВНІСТЮ співпадають з функціями, що є розв'язками рівняння гармонійних коливань.

Якщо зміна кординати коливної точки і точки, що обертається, відбувається за однаковим законом, то:

X – поточна координата коливної точки = поточна координата обертової точки

x_m – амплітуда коливань, тобто максимальний зсув від положення рівноваги = радус обертального руху

ω – циклічна або кругова частота коливань = кутова швидкість обертової точки

де f - частота обертального або коливального руху, а Т - період (час одного оберту або час одного коливання)Але ми мали для випадку коливання вантажу на пружині, отже

Мінімальний інтервал часу, через який відбувається повторення руху тіла, називається періодом коливань T

для математичного маятника , отже

Величина, що стоїть під знаком косинуса φ= ω t + φ₀ називається фазою гармонійного процесу. При t = 0 φ = φ_0, тому φ₀ називають початковою фазою. Фаза - це кут, який утворює з віссю Х радіус обертової точки, координата якої здійснює коливання за даним гармонійним законом.Зрозуміло, що таким чином для кожного коливального процесу можливо "підібрати" відповідний обертовий рух

---

Дата добавления: 2015-11-14