Регулярлы шекаралық есептен туындалған дифференциялдық оператордың меншікті функциясының жіктелуі.

2 де айтылғандай егер де операторы өзіне-өзітүйіндес болмаса. Бұл жағдайда біз басқа әдісті қолданамыз ол Грин операторының аналитикалық функцияларының қасиеті негізінде және асимптотикалық формуладан шығады. Бұл кезде операторы регулярлы шекаралық есептен туындалған деп есептейміз және де болғанда операторы меншікті мән болмайды, бұдан операторы Грин функциясына ие екені шығады.

комплекс жазықтығында айналу денесін қарастырайық ол координаттар басында бірдей центрге ие болсын және келесі қасиеттерге ие:

айналу бетінде радиусы шексіз үлкейе береді.

. оң саны бар болсын және оның дегі бейнесі операторының меншікті мән арақашықтығы болғандағы бейнелеуіндегі жеткілікті үлкен дан айналу денесінің әрбір бейнесіне дейн.

9 дәлелдегеннен айналу бетінің меншіңті мәнінің асимптотикалық қасиетінен бар екенін көреміз. операторының Грин функциясы болсын; кейбір жағдайларда операторының Грин функциясы бар.

Интегралын қарастырайық

;

Осыған шегерімдер туралы теореманы қолдансақ

(10)

Мұнда , ) функциясының шегерімі, полюсіне қатысты, ал , дөңгелегіндегі полюстер саны. Дәлелдейк

(11)

Және мұнда , интервалында бірқалыпты. (10) әсерінен шығатыны оның қатарға жіктелетіні

интервалында , ке тәуелді бірқалыпты жіктелуі.

Шынында да, меншікті мәндер үшін асимптоталық формуладан, шеңберлерін

болатындай етіп таңдауға болатыны шығатыны.

(11) –ші қатынастың дәлелдеуі келесі леммаға негізделген.

Лемма 1. -ның маңайында G (, s, λ) функциясы мына теңсіздікті қанағаттандырады:

Мұндағы, М - қандай да бір тұрақты.

Дәлелдеуі. десек, онда тиісті arg p-ны таңдаған кезде, маңайы, р комплекс жазықтығында көршілес , облыстарынан өтетін, центрі координат басында және орталық бұрышы болатын шеңбердің доғасы -ға көшеді. (12)-ші теңсіздікті дәлелдеу үшін 7 §3-тегі (32)-(34) формулаларды қолданамыз, сонымен бірге n тақ және жұп болатын жағдайды бөлек қарастырған ыңғайлы.

а) n тақ; n=2 . сандары үшін:

) ) )

болатындай етіп нөмірленсін. Онда болғанда:

(13)

- доғасының аймағында жататын бөлігі болсын және осы бөлікте , ал да доғаның осы аймақта жататын бөлігі және

(13-ші сурет). G (, , λ) функциясын бағалау үшін

7 §3-тегі (32)-(36) формулаларды қолданайық. арқылы

W=

анықтауышындағы элементінің алгебралық толықтауышын белгілейік және

= (14)

болсын. Онда 7 §3-тегі (32)-ші формула мына түрде:

g (x )=

жазылады. 5 §4-тегі 1-ші теорема бойынша:

= , n;

Осы өрнектерді (14)-ке қойып,бөлімі мен алымын , , , , ,…, -қа қысқартайық. Сонда біз:

(16)

аламыз. Мұндағы:

ал, анықтауыштағы толықтауышы.Сондықтан:

(17)-ші жүйенің жалғыз ғана шешімі бар,басқа жағынан ол болған кезінде қанағаттанады, өйткені Демек, (16)-шы өрнек мына түрге келеді:

, (18)

-ші және §3-тегі (32)-ші формуладан:

G (, , λ) функциясын болғанда қарастырайық

(; онда (15)-ші формуладағы “+” таңбасын аламыз.H (, , λ) анықтауышының 1-ші,2-ші,..., -ші бағандарын , , …, -ға көбейтеміз, ал -ші, -ші,..., n-ші бағандарды сәйкес

, , …, -ға көбейтіп соңғы бағанға қосамыз. Сонда соңғы бағанның элементтері:

,

(17), §4-тегі (52) және (18) формулалардан бұл элементтерді мына түрде:

= ,

Сонымен қатар 5, 9 §4-те көрсетілген асимптоталық формулалар орынды:

,

λ)= (

Осы өрнектерді, H (, , λ) анықтауышының соңғы бағаны жоғарыда көрсетілген

жолмен өзгертілген §3-тегі (34)-ші формулаға қойып, λ) бөлгішінің көбейткіштерін келесі жолмен бөлейік. -ші жолды -ға бөлеміз, j-шы бағанды -ға бөлеміз (, 1-ге соңғы бағанды, -ға -ші бағанды бөлеміз.

Мейр

Баян

Дата добавления: 2015-11-14