Оператордың өзіне-өзі түйіндес кезі.

өзіне-өзітүйіндес дифференциалдық оператор болсын, ол дифференциалдық өрнегінен туындалады және мына шекаралық шаррты қанағаттандырады Жалпы жағдайын өзгертпейақ деп есептеуге болады, егер болса, яғни шекаралық есеп

(8)

Тривиалды шешімге ғана ие болады. Шынында да, кері жағдайда ті мына өрнек арқылы ауыстыруға болады мұндағы кез келген сан,ол операторының барлық меншікті мәнінен өзгеше. Осындай сан табылады немесе өзіне-өзітүйіндес операторы жұп меншікті мәндер жиынынан артық емес.

Бірақ, егер (8) шекаралық есеп тек тривиалды ғана шешімге ие болса, онда операторы Грин функциясына ие болады , ал бұл эрмиттік ядро болып табылады. Енді операторы анықталған облыстан туындалған функциясын қарастырайық; бұл дегеніміз функциясы ретке дейнгі туындыға ие және (6) шекаралық есепті қанағаттандырады.

Енді орнына қойсақ

Сонда

Яғни функциясы (истокообразно) үзіліссіз ядроның көмегімен.

Гильберт-Шмид теорамасының негізіндеинтегралдық теңдеулер теориясынан функциясын бірқалыпты жинақталатын қатарға, меншікті функция ядросы арқылы жіктеуге болады. Бірақ ядросы және опреторы бірдей меншікті функцияға ие болады. Келесідей теорема дәлелденеді.

Теорема 1. Кез келген функция анықталу облысынан алынған өзіне-өзітүйіндес дифференциалдық оператор жалпы Фурье қатарының бірқалыпты жинақталатын операторының меншікті функциясы арқылы жіктеледі.

Еске түсіре кетейк, ретті дифференциялдық оператордың анықталу облысы барлық функциялардан тұрады, ол функция берілген интервалда ретке дейнгі туындысын қоса есептегенге тең және берілген операторды туындататын шекаралық шартты қанағаттандырады. Осыдан көретініміз, алдыңғы теорема мынадай функциялар туралы айтылады.

операторының анықталу облысы да тығыз, ендеше 1 теоремадан алатынымыз

Салдар. да меншікті функция өзіне-өзітүйіндес дифференциалдық операторы толық жүйе құрайды.

Егер меншікті функция былай таңдалған, олар ортонормаланған жүйе құрайды және ол жердегі коэфициенті мына формула арқылы өрнектеледі.

Парсеваль теңдеуі

1 теореманын дұрыстығын көруге болады, егер жалпы өзіне-өзітүйіндес шекаралық есеп

Егер де функциясы үзіліссіз және интервалында үзіліссіз немесе осы жағдайда Грин функциясы 𝓡 кеңістігінде функциясының эрмиттік операторы мына скалярлық көбейтіндімен бірге

(9)

(яғни симметриялы ядро деп аталады). Бұл кезде коэфициенті ушін төмендегі формула орынды.

Мұнда операторының меншікті функциясының толық жүйесі. (9) скаляр көбейтінді мағынасында ортономаланған.

Дата добавления: 2015-11-14