Интегрирование иррациональных функций.

1. Интегралы вида путём выделения полного квадрата в подкоренном выражении в зависимости от знака А сводится к одному из двух интегралов:

(1)

(2), где .

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

.

2. Интегралы вида сводятся к интегралу (1) или (2) и интегралу , который можно вычислить с помощью замены . Чтобы разбить исходный интеграл на два более простых, числитель подынтегрального выражения представляют в виде суммы (разности) двух выражений, одно из которых совпадает с производной подкоренного выражения.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. а) Вычисляем производную подкоренного выражения:

;

б) разобьём числитель подынтегрального выражения на сумму, одно из слагаемых которой равно :

;

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование иррациональных функций. Стр. 1

в) представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

;

г) вычислим каждый из полученных интегралов:

;

;

д) запишем ответ с учётом коэффициентов, стоящих перед интегралами:

.

3. Интегралы вида , где - рациональная функция, - целые числа, находятся с помощью подстановки , где n – наименьшее общее кратное чисел .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Здесь , , , . Следовательно, n=2.

.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование иррациональных функций. Стр. 2

4. Интегралы вида , где m, n, p – рациональные числа, a, b – постоянные, отличные от нуля сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:

а) когда p – целое число, - разложением на слагаемые по формулам бинома Ньютона или заменой , где s – общий знаменатель m и n;

б) когда - целое число, - подстановкой , где s – знаменатель дроби p;

в) когда - целое число, - подстановкой , где s – знаменатель дроби p;

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. . Здесь , , . Проверим, какое из условий а), б), в) выполняется:

- не является целым числом;

- целое число. Значит, воспользуемся заменой из пункта б): . Выразим из данной замены переменную х: .

Тогда . Перепишем искомый интеграл, используя полученные данные:

.

---

Дата добавления: 2015-11-14