Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение R называют рефлексивным, если для любого элементаполя a Î F (R)= R +имеетместо аRa.

Примерами рефлексивных отношений могут служить отношение

подобия (~), отношение параллельности (||), диагональное отноше-ниенамножестве А = { а, b, с

D A = (а, a), (b, b), (с, с).

Бинарное отношение R называют антирефлексивным, если для лю-бого элемента поля a Î F (R)имеет место aRa.

Примерами антирефлексивных отношений являются отношения порядка(<),(>),отношениеперпендикулярности(^).

Если задано бинарное отношение

R ={ a, a),(a, b),(b, b),(a, c),(c, c },

то это отношение рефлексивно, а бинарное отношение R ={ a, b),(b, c),(b, b),(a, c }

— нет.

Бинарное отношение

R = {(a, b)(b, c),(a, c)}

антирефлексивно.

Бинарное отношение R симметричное, если из aRb следует bRa.

Примерами таких отношений являются отношение равенства (=), подобия(~),диагональноеотношение(D A),отношениеперпендику-лярности(^),отношениепараллельности(||).

È R

-

}

}

{

(

)

)

(

Бинарное отношение R асимметрично, если из aRb следует bRa.

Асимметричными являются отношения порядка (<), (>).

Бинарное отношение R называют антисимметричным, если из aRb и bRa следует, что a = b. Заметим, что антисимметричное отношение отличается от асимметричного лишь тем, что в антисимметричном отношении допускается существование упорядоченной пары с оди-

наковыми компонентами.

Так, бинарные отношения

S = (a, a),(b, b),(c, c) и

S 2= (a, a),(a, b),(a, c),(b, a),(c, a) — симметричны.

С другой стороны, бинарные отношения

S = (a, a),(b, b),(c, c)

и

S 3={(a, b),(a, c),(a, a),(b, c)

— антисимметричны.

Отсюда следует, что одно и то же бинарное отношение может быть

одновременно как симметричным, так и антисимметричным (см. би-

нарное отношение S.

Бинарное отношение R называют транзитивным, если из aRb и bRc следует, что aRc. В противном случае отношение R называют нетранзитивным.

Примерами транзитивных отношений являются отношение ра-венства(=),отношениеподобия(~),диагональноеотношение(D A),отношения порядка (<), (<), (>), (>), (Ì),отношениепараллельно-

сти (||). Примерами транзитивных отношений также могут служить

отношения S и S 3.

}

{

}

{

}

{

}

В зависимости от свойств, которыми обладают бинарные отноше-

ния, выделяют и исследуют различные типы отношений. Наиболее

известные из них — отношения эквивалентности и порядка.

Дата добавления: 2015-11-16