Графический метод

Задача 2.1. На велосипедном заводе выпускают гоночные и дорожные велосипеды. Производство устроено так, что вместо двух дорожных велосипедов завод может выпустить один гоночный, причем гоночный велосипед приносит в 1,5 раза больше прибыли. Завод может произвести 700 дорожных велосипедов в день, однако склад может принять не более 500 велосипедов в день. Сколько нужно выпускать в день гоночных и сколько дорожных велосипедов, для того чтобы завод получал максимальную прибыль?

Решение. Обозначим через х ₁ число гоночных, а через х ₂ – число дорожных велосипедов, выпускаемых заводом ежедневно. Поскольку х ₁ гоночных велосипедов по производству эквивалентны 2 х ₁ дорожных велосипедов, то общее число «условных» велосипедов равно 2 х ₁ + х ₂. Оно не может быть более 700. Получаем ограничение:

Возможности склада обусловливают второе ограничение:

Очевидно,

Прибыль пропорциональна величине

Получаем задачу ЛП стандартной формы:

Решаем ее графически.

Рис. 1

Нормальный вектор целевой функции изображен на чертеже в увеличенном масштабе. Нам важна не его длина, а его направление. Точкой максимума будет точка В – точка пересечения прямых l ₁ и l ₂. Ее координаты определяем из системы

Итак, завод должен выпускать 200 гоночных и 300 дорожных велосипедов в день. При этом прибыль завода будет максимальна.

Решая задачу линейного программирования графическим способом, мы можем встретиться со следующими случаями:

а б

в г

Рис. 2

На рис. 2, а изображен случай, когда целевая функция имеет единственную точку максимума – точку А и единственную точку минимума – точку О. В случае б максимума у целевой функции нет, так как она может неограниченно возрастать. Точек минимума в случае б бесконечно много. Все точки отрезка СK будут точками минимума. В случае в целевая функция имеет единственную точку максимума и не имеет минимума (не ограничена снизу). В случае г область допустимых планов пустая. Решений нет.

Дата добавления: 2015-11-14