Основные определения

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда

· Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .

· Величина

называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

· Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

.

· Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .

· Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

1.3. Сравнение нечётких множеств

Пусть и нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .

· содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :

· В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так:

где

· Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

· В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде

где

1.4. []Свойства нечётких множеств

· α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

· Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

· Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

1.5. Операции над нечёткими множествами

При

· Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в и :

· Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

· Объединением нечётких множеств и называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементы или :

· Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

· Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:

для каждого .

1.6. Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

·

·

·

·

· , для .

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом

где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

·

·

·

·

· , для .

Дата добавления: 2015-11-16