Решение игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий А₁, А₂,…,А_i,…А_m с вероятностями p₁, p₂,…,p_i,…p_m, причем сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратегии игрока записываются в виде матрицы:

,

или в виде строки . Аналогично свешанные стратегии игрока В обозначаются:

или , где сумма вероятностей появления стратегий игрока В равна 1: .

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой из нулей и единицы, причем единица должна стоять в позиции, соответствующей чистой стратегии.

На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение игры: это пара оптимальных стратегий , в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии. Выигрыш, соответствующей оптимальному решению, называется ценой игры . Цена игры удовлетворяет неравенству:

,

где - нижняя цена игры; - верхняя.

Теорема Неймана: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равен цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Пусть задана платежная матрица игры:

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

, а игрок В чистую стратегию (соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры :

.

Тот же средний выигрыш получит игрок А, если игрок В выберет стратегию , то есть: . Учитывая, что , получим систему уравнений для определения оптимальной стратегии и цены игра :

Решая эту систему получим оптимальную стратегию и цену игры:

Применяя теорему об активных стратегиях - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А ( или ) средней проигрыш игрока В равен цене игры :

Решая эту систему получим оптимальную стратегию и цену игры:

Пример 18:

Игра "Поиск" задана платежной матрицей без седловой точки:

Ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средней выигрыш равен цене игры , для игрока В средний проигрыш равен цене игры. Системы уравнений имеет вид:

Решая эти системы получаем

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средней выигрыш равен 0.

Задания:

Найти смешанные стратегии игроков и цену игры:

1.

-2
	-1

2.

3.

	-2

Дата добавления: 2015-11-16