Алгебраические линии и поверхности.

Пусть на плоскости задана некоторая аффинная система координат. Тогда любая точка плоскости задается парой действительных чисел.

Def 1. Множество точек плоскости, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(1)

называется линией. Если уравнение (1) разрешимо относительно y, то оно переписывается (1’)

Иногда для описания линии используют векторную форму записи: (2)

Здесь параметр , - радиус-вектор точек на линии, при изменении t концы описывают некоторую линию.

Если на плоскости рассматривается декартова система координат, то каждый радиус-вектор может быть представлен . Тогда уравнение (2) в координатах - параметрическое уравнение линии (3)

Например, - уравнение окружности

Линию на плоскости иначе можно задать в полярной системе координат:

, где - длина , - угол

Пример. - полярное уравнение линии.

Если перечисленные уравнения рассматривать парами, т.е.

или или или

Каждая система определяет множество точек пересечений двух линий.

Аналогично, множество решений уравнения (5), можно рассматривать как поверхность в трехмерном пространстве, где - координаты точки в заданной системе координат. Если (5) разрешимо относительно одной из переменных, то (5’)

Замечание. Если уравнение поверхности (5) не содержит одной из переменных, то соответствующая поверхность называется цилиндрической.

Прямые линии, из которых она состоит её образующими, а линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие называют направляющей.

Пример.

Если рассматривать систему , (6)

состоящую из двух уравнений поверхностей, то система (6) в общем случае описывает кривую пересечения этих поверхностей.

Пример.

Любую кривую в пространстве можно также описать в виде (7)

- векторное параметрическое уравнение линии.

Если , то уравнение (7): (8)

- координаты параметрического уравнения линии в пространстве.

Def 1. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которые в какой-либо аффинновой системе координат удовлетворяют уравнению: (9)

где

наибольшие из сумм . Аналогичное определение вводится для алгебраической линии на плоскости.

Теорема 1. Алгебраическая поверхность порядка p в любой аффинновой системе координат может быть задана уравнением вида (9) порядка p.

Доказательство. Пусть в некоторой аффинновой системе координат поверхность задана уравнением (9), тогда при переходе в другую аффиннову систему координат переменные преобразуются по формулам:

(10)

где - матрица перехода к другому базису, а вектор - переноса начала координат.

Очевидно, что после подстановки (10) в (9) порядок уравнений не повышается.

Если бы после подстановки (10) в (9) порядок полученного уравнения повысился, в силу обратимости (10), порядок мог бы возрасти, а это невозможно. Ч.т.д.∎

Дата добавления: 2015-07-11