Системы координат

1⁰. Аффинные системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.

До этого существовали пространства, элементами которых были вектора – например, отрезки, которые можно переносить параллельно самому себе.

Если существуют точки в пространстве, то необходимо ввести системы координат.

Пусть на прямой (плоскости или в пространстве) задана точка О и базис

Def 1. Афиновой (декартовой) системой координат называется совокупность точки (начала координат) и базисных векторов, заданных в определенном порядке. Совокупность точки и базисных векторов иногда называют репером.

Базисные вектора определяют координаты оси, проходящей через точку О и эти базисные вектора являются единичными (масштабными) векторами этих осей.

Если

Def 2. Числа из формулы (1) называются аффинными координатами т. М, рассмотренные в системе координат.

Замечание. Начало координат т. О делит ось координат на 2 полуоси: отрицательную и положительную.

Ось координат делит плоскость на координатные полуплоскости, а пара осей - на на координатные квадранты (четверти).

Плоскости, проходящие через пары осей называются координатными плоскостями.

Координатная плоскость делит пространство на 2 координатные полупространства, а тройка координатных плоскостей делит пространство на 8 координатных октант.

Выберем в пространстве произвольную точку М и спроектируем её на координатной оси параллельно координатам плоскостям: соответственно. Полученные точки расположены на осях и и пусть на этих осях имеют координаты соответственно.

Тогда числа называются координатами т. М в системе координат .

Таким образом, координаты точки – координаты её проекций на координатной оси параллельны координатным плоскостям.

Аналогично вводится координаты точки на плоскости.

Если пересекаются 2 точки и , то координаты вектора находятся по следующему правилу:

Пусть в начале центр системы координат перенесен в точку . Если - радиус-вектор т. М в первоначальной системе координат, а - радиус-вектор преобразованной, то .

Если , то из последней формулы имеем

Если теперь начало координат останется на месте, а базисные вектора преобразуются с помощью суммы, то координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:

Объединяя оба преобразования получаем: - формула преобразования координат точки при переходе от одного репера к другому.

2⁰. Задача деления отрезка в данном отношении

,

Def 3. Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если .

Видно, что , если и , если ; .

Пусть Þ , Þ Þ (3)

Частный случай: деление отрезка пополам – l=1, координаты точки (середина отрезка) равны полусумме координат его концов.

Если и - радиус-вектора точек и , то формулы (3) могут быть переписаны в векторном виде: .

3⁰. Другие системы координат.

а) полярная система координат задается на плоскости.

Задается т. , которая называется полюсом и координатная ось, проходящая через т. , которая называется полярной осью.

Если есть произвольная т. М

М

Положение точки М на плоскости в полярной системе координат определяется расстоянием от т. до т. М и углом , на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки до совмещения с осью ОМ.

Пара называется полярными координатами т. М, - полярный радиус, - полярный угол. .

С полярной системой координат естественным образом связывается прямоугольная декартова система координат: ось совпадает с полярной осью, ось проходит через полюс перпендикулярно(при повороте оси против часовой стрелки на угол ). Тогда полярная и декартова координаты т. М связаны формулами:

б) цилиндрические координаты в пространстве:

Выберем в пространстве плоскость и введем на этой плоскости полярную систему координат. Через полюс О проведем ось перпендикулярно . Наряду с этим введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат соответствующую полярной.

Вместе с осью она будет образовывать декартову систему координат в пространстве.

Выберем произвольную точку М и??? проекции и т. М на ось и на плоскость .

Тогда т. и имеет координату , полярные координаты .

Числа называются цилиндрическими координатами т. М в пространстве.

Таким образом, для того, чтобы ввести цилиндрическую систему координат |⇒ на некоторой фиксированной плоскости задать полярную систему координат и ось перпендикулярную этой плоскости.

Если в циклической системе координат естественным образом связаны декартова система координат, то координаты т. М в полярной системе координат: и декартовой системе координат связаны:

в) сферическая система координат в пространстве

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат и соответствующую ей полярную систему координат в плоскости

Пусть т. М – точка пространства, - проекция на , имеющая полярные координаты и пусть - угол между и , - длина вектора , тройка определяет сферические координаты точки в пространстве.

- радиус, - долгота, - широта.

Если координаты т. М в декартовой системе координат, то они связаны со сферическими координатами формулами:

Замечание. Иногда угол - угол между и , тогда формулы связи с декартовой системой координат изменяются:

Дата добавления: 2015-07-11