Определение 12.2.

Геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется эллипсом.

Отметим на оси две точки: , т.е. (фокусное расстояние). Пусть - произвольная точка эллипса.

Фокальными радиусами () точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами и :

(12.5)

, где .

Выведем уравнение эллипса.

. По определению ( 12.2) имеем:

- иррациональное уравнение.

, , , , , , т.к. , , т.е. ,

Введем обозначение (12.5).

Тогда .

Поделим обе части на (), получим:

(12.6)

.

- каноническое уравнение эллипса.

Если точка не принадлежит эллипсу, то , а это значит, что координаты точки не удовлетворяют уравнению (12.6).

Проведем исследование полученного уравнения, для чего разрешим его относительно . ,

(12.6’)

.

Т.к. и в уравнение эллипса входят в четных степенях, то график функции симметричен как относительно , так и относительно . Т.о. исследование достаточно провести только для I четверти.

При , при . Если на промежутке , то на промежутке . Имеем дугу эллипса, .

Отрезок называется большой полуосью,

отрезок называется малой полуосью.

Замечание 3.

Уравнение (12.6) можно рассматривать и в случае , тогда - большая полуось и фокусы эллипса лежат на оси .

Замечание 4.

В случае, когда , уравнение (12.6) вырождается в окружность с центром в начале координат .

Дата добавления: 2015-07-11